高二数学快。
如图，O为坐标原点，直线l 在 x轴和y 轴上的截距分别是a 和b ，且交抛物线 y^2=2px(p＞0)于 m(x1,y1)、n(x2,y2) 两点．（1）写出直线 l的截距式方程；（2）证明1/y1+1/y2=1/b；（3）当a=2p 时，求角mon的大小．
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如图，O为坐标原点，直线l 在 x轴和y 轴上的截距分别是a 和b ，且交抛物线 y^2=2px(p>0)于 m(x1,y1)、n(x2,y2) 两点．
（1）写出直线 l的截距式方程；
（2）证明1/y1+1/y2=1/b ；（3）当a=2p 时，求角mon的大小
（1）写出直线 l的截距式方程；
解:
因为:直线l 在 x轴和y 轴上的截距分别是a 和b
所以:直线 l的截距式方程为:x/a+y/b=1
（2）证明1/y1+1/y2=1/b
证明:设直线 l交抛物线 y^2=2px(p>0)于 m(x1,y1)、n(x2,y2) 两点。
则:x/a+y/b=1 (1) y^2=2px (2) (1)代入(2) y^2+2pay/b-2pa=0 所以: y1+y2=-2pa/b y1*y2=-2pa 因为:1/y1+1/y2=(y1+y2)/y1*y2=(-2pa/b)/(-2pa)=1/b 所以:1/y1+1/y2=1/b 证毕: （3）当a=2p 时，求角mon的大小 解: 设角mon=a 且直线MO的斜率为Kmo和直线NO的斜率为Kno 则:tana=|(Kmo-Kno)/(1+Kmo*Kno)| Kmo=Ym/Xm Kno=Yn/Xn Ym^2=2pXm Yn^2=2pXn a=2p tana=|(Ym/Xm-Yn/Xn)/(1+Ym*Xn/Xm*Xn)| =|(Ym*Xn-Yn*Xm)/(Xm*Xn+Ym*Yn)| =|[(Ym*Yn^2-Yn*Ym^2)/2p]/[(Ym^2*Yn^2+4(p^2)Ym*Yn)/4p^2] =|2pYm*Yn(Ym-Yn)/[Ym*Yn(Ym*Yn-4p^2)]| =|2p(Ym-Yn)/(Ym*Yn-4p^2)| 因为:Ym*Yn=2pa 所以:Ym*Yn-4p^2=0 即:tana ------>+00 所以:a=90度 。
。
则:x/a+y/b=1 (1) y^2=2px (2) (1)代入(2) y^2+2pay/b-2pa=0 所以: y1+y2=-2pa/b y1*y2=-2pa 因为:1/y1+1/y2=(y1+y2)/y1*y2=(-2pa/b)/(-2pa)=1/b 所以:1/y1+1/y2=1/b 证毕: （3）当a=2p 时，求角mon的大小 解: 设角mon=a 且直线MO的斜率为Kmo和直线NO的斜率为Kno 则:tana=|(Kmo-Kno)/(1+Kmo*Kno)| Kmo=Ym/Xm Kno=Yn/Xn Ym^2=2pXm Yn^2=2pXn a=2p tana=|(Ym/Xm-Yn/Xn)/(1+Ym*Xn/Xm*Xn)| =|(Ym*Xn-Yn*Xm)/(Xm*Xn+Ym*Yn)| =|[(Ym*Yn^2-Yn*Ym^2)/2p]/[(Ym^2*Yn^2+4(p^2)Ym*Yn)/4p^2] =|2pYm*Yn(Ym-Yn)/[Ym*Yn(Ym*Yn-4p^2)]| =|2p(Ym-Yn)/(Ym*Yn-4p^2)| 因为:Ym*Yn=2pa 所以:Ym*Yn-4p^2=0 即:tana ------>+00 所以:a=90度 。
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