求解一道数列题已知数列An中,A
（1）解：由题可知，
A2=2/（3-A1）=2/（3-4/3）=6/5
A3=2/（3-A2）=2/（3-6/5）=10/9
（2）证：因为Bn=(2-An)/(An-1)，A(n+1)=2/(3-An)
所以B（n+1）=（2-A（n+1））/（A（n+1）-1）
=[2-2/（3-An）]/[2/（3-An）-1]
=[（4-2An）/（3-An）]/[（An-1）/（3-An）]
=2（2-An）/（An-1）
所以B（n+1）/Bn=[2（2-An）/（An-1）]/[(2-An)/(An-1)]=2
这是一个常数，所以Bn是等比数列
（3）解：因为A1=4/3=（2^1+2）/...全部
（1）解：由题可知，
A2=2/（3-A1）=2/（3-4/3）=6/5
A3=2/（3-A2）=2/（3-6/5）=10/9
（2）证：因为Bn=(2-An)/(An-1)，A(n+1)=2/(3-An)
所以B（n+1）=（2-A（n+1））/（A（n+1）-1）
=[2-2/（3-An）]/[2/（3-An）-1]
=[（4-2An）/（3-An）]/[（An-1）/（3-An）]
=2（2-An）/（An-1）
所以B（n+1）/Bn=[2（2-An）/（An-1）]/[(2-An)/(An-1)]=2
这是一个常数，所以Bn是等比数列
（3）解：因为A1=4/3=（2^1+2）/（2^1+1）
所以不妨设An=（2^n+2）/（2^n+1）
所以A（n+1）=2/[3-（2^n+2）/（2^n+1）]=2/[(3*2^n+3-2^n-2)/(2^n+1)]=2*(2^n+1)/(2*2^n+1)=[2^(n+1)+2]/[2^(n+1)+1]
所以可看出An=(2^n+2)/(2^n+1)对于数列中的任何一个数都是成立的
所以Sn中的每一项的可表示为{[2^(n+1)+2]/[2^(n+1)-1]-1}*[2-(2^n+2)/(2^n+1)]=[2^(n+1)-2^n]/{[2^(n+1)+1][2^n+1]}={[2^(n+1)+1]-[2^n+1]}/{[2^(n+1)+1][2^n+1]}=1/(2^n+1)-1/[2^(n+1)+1]（因书写不太方便，中间过程省略了一些）
所以Sn=[1/(2^1+1)-1/(2^2+1)]+[1/(2^2+1)-1/(2^3+1)]+……+{1/(2^n+1)-1/[2^(n+1)+1]}=1/(2^1+1)-1/[2^(n+1)+1]（打开括号后，会发现中间项可正负抵消）=1/3-1/[2^(n+1)+1]
所以|Sn-1/3|=|1/3-1/[2^(n+1)+1]-1/3|=1/[2^(n+1)+1]1000
又因为知道2^9=512，2^10=1024，1024+1>1000>512+1
所以（n+1）最小为10，即n的最小值为9。
收起
