如图已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2

几何证明 已知四边形ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,以四边形ABCD各边为直径向外作半圆。记四个半圆面积减去与四边形ABCD外接圆相交部分的面积为T，四边形ABCD的面积为S.求证 T=S.

已知四边形ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,以四边形ABCD各边为直径向外作半圆。记四个半圆面积减去与四边形ABCD外接圆相交部分的面积为T，四边形ABCD的面积为S。求证 T=S。 先证两个两个引理。 引理1 已知四边形ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,R是外接圆半径。则 AB^2+CD^2=BC^2+DA^2=4R^2。 证明简单略。 引理2 以直角△ABC的斜边BC为直径向形内作半圆，以直角边AB,AC分别为直径向形外作半圆。 设半圆AB面积T1减圆BC的弓形AB面积为M,半圆AC面积T2减圆BC的弓形AC面积为N,半圆BC面积T,直角△ABC的面积为S。则 S=M...全部

  已知四边形ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,以四边形ABCD各边为直径向外作半圆。记四个半圆面积减去与四边形ABCD外接圆相交部分的面积为T，四边形ABCD的面积为S。求证 T=S。 先证两个两个引理。
   引理1 已知四边形ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,R是外接圆半径。则 AB^2+CD^2=BC^2+DA^2=4R^2。 证明简单略。 引理2 以直角△ABC的斜边BC为直径向形内作半圆，以直角边AB,AC分别为直径向形外作半圆。
  设半圆AB面积T1减圆BC的弓形AB面积为M,半圆AC面积T2减圆BC的弓形AC面积为N,半圆BC面积T,直角△ABC的面积为S。则 S=M+N。 简证 ∵M+N+T=T1+T2+S,∴M+N=T1+T2-T+S M+N=π(CA^2+AB^2-BC^2)/8+S=S。
   证明 设半圆AB面积T1减外接圆ABCD的弓形AB面积为M1,半圆BC面积T2减外接圆ABCD的弓形BC面积为M2,半圆CD面积T3减外接圆ABCD的弓形CD面积为M3,半圆DA面积T4减外接圆ABCD的弓形DA面积为M4,外接圆ABCD面积T,四边形ABCD的面积为S。
  所以 M1+M2+M3+M4+T=T1+T2+T3+T4+S。 由引理1和引理2得:T=T1+T2+T3+T4。 因此M1+M2+M3+M4=S。证毕。 。收起