几何问题已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直.
已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直
设四边形ABCD的对角线交于O,∠AOB=∠COD=a,有:
AB²=AO²+BO²-2AO•BO•cosa
CD²=CO²+DO²-2CO•DO•cosa
BC²=CO²+BO²-2CO•BO•cos(180-a)=CO²+BO²+2CO•BO•cosa
AD²=AO²+DO²-2A...全部
已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直
设四边形ABCD的对角线交于O,∠AOB=∠COD=a,有:
AB²=AO²+BO²-2AO•BO•cosa
CD²=CO²+DO²-2CO•DO•cosa
BC²=CO²+BO²-2CO•BO•cos(180-a)=CO²+BO²+2CO•BO•cosa
AD²=AO²+DO²-2AO•DO•cos(180-a)=AO²+DO²+2AO•DO•cosa
∵AB²+CD²=BC²+AD²
--->-(AO•BO+CO•DO)cosa=(AO•DO+CO•BO)cosa
--->cosa(AO•BO+CO•DO+AO•DO+CO•BO)=0
--->cosa(CO+AO)(DO+BO)=AC•BD•cosa=0
--->cosa=0--->a=90°,即对角线互相垂直。
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