简单证明

已知a、b、c∈R+,且ab+bc+ca＝1.求证：(1)a+b+c≥√3;(2)√(a/bc)+√(b/ca)+√(c/ab)≥√3·(√a+√b+√c).

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2013-11-11

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    (1)证原式即证 a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)≥3 →a^2+b^2+c^2≥1＝ab+bc+ca。而(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)≥(ab+bc+ca)^2 →a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca。
   ∴原不等式成立。   (2)证原式只需证： (a+b+c)/√(abc)≥√3·(√a+√b+√c) →1/√(abc)≥√a+√b+√c →a√(bc)+b√(ca)+c√(ab)≤ab+bc+ca。
   而a√(bc)≤(ab+ca)/2,b√(ca)≤(ab+bc)/2,c√(ab)≤(ac+bc)/2, ∴a√(bc)+b√(ca)+c√(ab)≤ab+bc+ca。   ∴原不等式成立。

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锐***

2013-11-11

19 0

你看看买空卖空

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