已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)满足条件f(-x+5)=f(x-3),f(2)=0且方程f(x)=x有等根.1.求a,b,c的值;2.当x属于[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(m属于R)是单调函 数, 求m的取值范围.
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)满足条件
f(-x+5)=f(x-3),f(2)=0且方程f(x)=x有等根。
1。求a,b,c的值;
2。
当x属于[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(m属于R)是单调函 数, 求m的取值范围。
解(1)
∵f(-x+5)=f(x-3)
∴a(-x+5)^2+b(-x+5)+c=a(x-3)^2+b(x-3)+c
化简得2a+b=0…………①
∵f(x)=x有等根,即ax2+(b-1)x+c=0有等根
∴(b-1)^2-4ac=0…………②
∵f(2)=0
∴4a+2b+c=0…………③
联立①②③,解得a=-0。
5;b=1;c=0
∴f(x)=-0。5x^2+x
------------------------------------------------------
∵g(x)=f(x)-mx=-0。
5x^2+x-mx=-0。5x^2+(1-m)x
令-1≤A<B≤1
∴g(A)-g(B)
=[-0。 5A^2+(1-m)A]-[-0。5B^2+(1-m)B]
=0。
5(B^2-A^2)+(1-m)(A-B)
=0。5(B+A)(B-A)+(1-m)(A-B)
=0。5(B-A)(B+A+2m-2)
∵-1≤A<B≤1 ∴B-A>0
1。如果g(x)=f(x)-mx是单调递减,即B+A+2m-2>0 ∴m>2
1。
如果g(x)=f(x)-mx是单调递增,即B+A+2m-2<0 ∴m<-2
。
具体我就不写了,你就记住这种方法好了,首先把-x+5代入f(x)中,把带有x的2次方的写在一起,再把x+3带入,同样把带有X的2次方的写在一起,带有X的写在一起,常数写在一起,最后把两个式子相等,最后写为
ax^2-(10a+b)x+25a+5b+c=ax^2-(6a-b)x+9a-3b+c
然后可得到:a=a -(10a+b)=-(6a-b) 25a+5b+c=9a-3b+c
就可算出a,b然后再带入f(2)=0可得出c,会了吗?。