任何无理数是否都可表示为无穷级数形式？

高数证明题证明：若级数Σun条件

我一般不写书上的定理，今天给你写一次，原理不难， 以后要找好一点的数学分析的书看。 1。 将{u(n),1≤n}的非负项依次排成{a(n),1≤n}, 将{u(n),1≤n}的负项依次排成{b(n),1≤n}。 由于级数∑{1≤n}u(n)条件收敛。 则Lim{n→∞}a(n)=Lim{n→∞}b(n)=0 ∑{1≤n}a(n)=+∞,∑{1≤n}b(n)=-∞。 下面只做a≥0和a=+∞的情况就可以了。 记：U(m)=∑{1≤n≤m}a(n),V(m)=∑{1≤n≤m}b(n)。 用递推的方法重新将{u(n)1≤n}排列成{v(n)1≤n}, 记T(m)=∑{1≤n≤m}v(n)...全部

  我一般不写书上的定理，今天给你写一次，原理不难， 以后要找好一点的数学分析的书看。 1。 将{u(n),1≤n}的非负项依次排成{a(n),1≤n}, 将{u(n),1≤n}的负项依次排成{b(n),1≤n}。
   由于级数∑{1≤n}u(n)条件收敛。 则Lim{n→∞}a(n)=Lim{n→∞}b(n)=0 ∑{1≤n}a(n)=+∞,∑{1≤n}b(n)=-∞。 下面只做a≥0和a=+∞的情况就可以了。
   记：U(m)=∑{1≤n≤m}a(n),V(m)=∑{1≤n≤m}b(n)。 用递推的方法重新将{u(n)1≤n}排列成{v(n)1≤n}, 记T(m)=∑{1≤n≤m}v(n)。
   2。 a≥0， ⅰ。 第一次从{a(n),1≤n}中取前M(1)>0项， 使 U(M(1))>a≥U(M(1)-1) ==> 00项， 使 U(M(1))+V(N(1)-1)≥a>U(M(1))+V(N(1)) ==> 00项， 并设为相应的v(k)，使 T(M(1)+。
  。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s))>a≥ ≥T(M(1)+。。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s)-1) ==> |T(k)-a|≤max{a(M(s+1)),-b(N(s)},其中 M(1)+。
  。。+M(s)+N(1)+。。。+N(s)+1≤k≤ ≤M(1)+。。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s) 第2s+2次从{b(n),1≤n}中取剩下的前N(s+1)>0项， 并设为相应的v(k)，使 T(M(1)+。
  。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s)-1)≥a> >T(M(1)+。。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s+1)) ==> |T(k)-a|≤max{a(M(s+1)),-b(N(s+1)},其中 M(1)+。
  。。+M(s)+N(1)+。。。+N(s)+1≤k≤ ≤M(1)+。。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s) ⅳ。 由于M(s)，N(s)≥s,而 Lim{s→∞}max{a(M(s)),-b(N(s-1)}= =Lim{s→∞}max{a(M(s)),-b(N(s)}=0 ==> Lim{t→∞}|T(k)-a|=0,所以重排后的级数收敛于a。
   3。 a=+∞,取M(s))使 U(M(s))>-2V(s)，将b(s)排在a(M(s))和a(M(s)+1)之间， 则重排后的级数收敛于+∞。 。收起