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解不等式组

求实数x,y使得 4^(-x)+27^(-y)=5/6 log(27)(y)-log(4)(x)>=1/6 27^y-4^x<=1 成立

全部回答

2012-11-05

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    解:设4^x=a>0, 27^y=b>0 则1/a+1/b=5/6……(1) 又b-a≤1 ==> b≤a+1, 代入(1), 得 1/a+1/(a+1)≤5/6 即5a²-7a-6≥0 解得a≥2, 即x≥1/2 将a≥b-1代入(1), 当b-1>0时, 有 1/b+1/(b-1)≥5/6 即5b²-17b+6≤0 解得2/5≤b≤3, 即0<y≤1/3 当b<1时, 仍有y≤1/3 又log(y)-log(x)≥1/6 ==> log(y)+1/3≥log(x)+1/2 ==> log(3y)≥log(2x) ∵x≥1/2, y≤1/3 ∴2x≥1, log(2x)≥0, 3y≤1, log(3y)≤0 当且仅当x=1/2, y=1/3时满足log(y)-log(x)≥1/6 ∴x=1/2, y=1/3。
    。

2012-11-05

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  设4^x=u,27^y=v,x,y>0,则 u,v>1,① 1/u+1/v=5/6,② v-u=0, 5u^-7u+6>0, ∴5u-6>0,u>6/5。
   代入假设,x>log(6/5), 由logy-logx>=1/6得 logy>=(logx)/(log4)+log√3, ∴y>=√3*x^[(log27)。
   综上,{ x>log(6/5), {y>=√3*x^[(log27)。 。

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