高二数学若P是椭圆X2/4+Y2
若P是椭圆X2/4+Y2=1上的一个动点,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,求向向量PF1*向量PF2的最大最小值
椭圆为：x^2/4+y^2=1
则：a^2=4，b^2=1
所以：c^2=a^2-b^2=3
所以：F1(-√3,0)、F2(√3,0)
点P为椭圆上一点，令P(2cosθ,sinθ)
那么，|PF1|^2+|PF2|^2=(PF1+PF2)^2-2|PF1|*|PF2|
===> (2cosθ+√3)^2+sin^2θ+(2cosθ-√3)^2+sin^2θ=(2a)^2-2|PF1|*|PF2|
===> 4cos^2θ+3+4√3cosθ+sin^2θ+4cos^2θ-4...全部
若P是椭圆X2/4+Y2=1上的一个动点,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,求向向量PF1*向量PF2的最大最小值
椭圆为：x^2/4+y^2=1
则：a^2=4，b^2=1
所以：c^2=a^2-b^2=3
所以：F1(-√3,0)、F2(√3,0)
点P为椭圆上一点，令P(2cosθ,sinθ)
那么，|PF1|^2+|PF2|^2=(PF1+PF2)^2-2|PF1|*|PF2|
===> (2cosθ+√3)^2+sin^2θ+(2cosθ-√3)^2+sin^2θ=(2a)^2-2|PF1|*|PF2|
===> 4cos^2θ+3+4√3cosθ+sin^2θ+4cos^2θ-4√3cosθ+3+sin^2θ=16-2|PF1|*|PF2|
===> 8cos^2θ+2sin^2θ+6=16-2|PF1|*|PF2|
===> 6cos^2θ+8=16-2|PF1|*|PF2|
===> |PF1|*|PF2|=4-3cos^2θ
因为0≤cos^2θ≤1
所以：
|PF1|*|PF2|的最大值为4；最小值为1。
收起
