已知椭圆x^2/4+y^2/3=
(1) 如下图所示:设点P,M在准线x=4上的射影是P',M'。由椭圆的第二定义|PF2|/|PP'|=e=1/2, ∴ |PP'|=2|PF2|。
∴ |PM|+2|PF2|=|PM|+|PP'|≥|MM'|=3,当且仅当M,P,P'三点共线时等号成立,此时点P位于P1(2√6/3,-1)。
(2) 由椭圆的第一定义|PF1|+|PF2|=4, ∴ |PF2|=4-|PF1|,|PM|+|PF2|=4+|PM|-|PF1|。连F1M,延长交椭圆于点P2,则|PM|-|PF1|≤|MF1|=√5。 ∴ |PM|+|PF2|≤4+√5。延长F2M交椭圆于点P3(3/2,1),则
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(1) 如下图所示:设点P,M在准线x=4上的射影是P',M'。由椭圆的第二定义|PF2|/|PP'|=e=1/2, ∴ |PP'|=2|PF2|。
∴ |PM|+2|PF2|=|PM|+|PP'|≥|MM'|=3,当且仅当M,P,P'三点共线时等号成立,此时点P位于P1(2√6/3,-1)。
(2) 由椭圆的第一定义|PF1|+|PF2|=4, ∴ |PF2|=4-|PF1|,|PM|+|PF2|=4+|PM|-|PF1|。连F1M,延长交椭圆于点P2,则|PM|-|PF1|≤|MF1|=√5。
∴ |PM|+|PF2|≤4+√5。延长F2M交椭圆于点P3(3/2,1),则
|PM|+|PF2|≥|P3F2|=3/2。
∴ )|PM|+|PF2|的取值范围是[3/2,4+√5]。收起