求证三角形面积公式
你说的这个是海伦公式 海伦公式 海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 而公式里的s为半周长： s=(a b c)/2 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。 比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就...全部
你说的这个是海伦公式 海伦公式 海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 而公式里的s为半周长： s=(a b c)/2 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明： 与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2 b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2 b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2 b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab a^2 b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2 c^2)] =1/4*√[(a b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a b c)(a b-c)(a-b c)(-a b c)] 设s=(a b c)/2 则s=(a b c), s-a=(-a b c)/2, s-b=(a-b c)/2, s-c=(a b-c)/2, 上式=√[(a b c)(a b-c)(a-b c)(-a b c)/16] =√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 所以，三角型ABC面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 证明完毕 海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 而公式里的s： s=frac{a b c} 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明 与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为 cos(C) = frac{a^2 b^2-c^2} 从而有 sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 2a^2b^2 2b^2c^2 2c^2a^2} } 因此三角形的面积S为 S = fracab sin(C) = fracsqrt{-a^4 -b^4 -c^4 2a^2b^2 2b^2c^2 2c^2a^2} = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 最后的等号部分可用因式分解予以导出。
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