若A',B',C'为三角形ABC的角平分线与外接圆的笫二个交点.
求证 ΔA'B'C'的面积≥ΔABC的面积
若A',B',C'为三角形ABC的角平分线与外接圆的笫二个交点。
求证 ΔA'B'C'的面积≥ΔABC的面积
证明 设ΔABC的面积为S,ΔA'B'C'的面积为S'。ΔABC的三条角平分线AA',BB',CC'，分别交ΔABC的外接圆于A',B',C'。
记R,r分别为ΔABC的外接圆与内切圆半径。
计算得:A'=(B+C)/2,B'=(C+A)/2,C'=(A+B)/2,
根据三角形面积公式得:
S=2R^2*sinA*sinB*sinC;
S'=2R^2*sin[(B+C)/2]*sin[(C+A)/2]*sin[(A+B)/2]
=2R^2*cos(A/2)*cos(B/2)*c...全部
若A',B',C'为三角形ABC的角平分线与外接圆的笫二个交点。
求证 ΔA'B'C'的面积≥ΔABC的面积
证明 设ΔABC的面积为S,ΔA'B'C'的面积为S'。ΔABC的三条角平分线AA',BB',CC'，分别交ΔABC的外接圆于A',B',C'。
记R,r分别为ΔABC的外接圆与内切圆半径。
计算得:A'=(B+C)/2,B'=(C+A)/2,C'=(A+B)/2,
根据三角形面积公式得:
S=2R^2*sinA*sinB*sinC;
S'=2R^2*sin[(B+C)/2]*sin[(C+A)/2]*sin[(A+B)/2]
=2R^2*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2)。
那么所证不等式等价于
cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2)≥sinA*sinB*sinC
1≥8sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)
根据恒等式:
sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/(2R)
所以上式等价于
R≥2r，这就是欧拉不等式,命题得证。
备注:2r*S'=R*S。
。收起
