过圆内接四边形ABCD各顶点作切线围成一四边形EFGH, 求证:两个四边形对角线共点。
过圆内接四边形ABCD各顶点作切线围成一四边形EFGH, 求证:两个四边形对角线共点。
证明 设圆内接四边形ABCD的顶点A,B,C,D分别在切线围成的四边形EFGH边HE,EF,FG,GH上。
令AC与EG交于L，过G点作GK∥HE，交AC延长线为K，故得:
ΔALE∽ΔKLG，即有
EL:GL=AE:GK。
因为∠EAL=∠LKG， ∠EAL=∠ACF∠GCK，
所以∠GCK=∠LKG，
因此ΔGCK是等腰三角形，即GC=GK。
从而 EL/GL=AE/GC。
若BD与EG相交于I，
同理可证:
EI/GI=BE/DG=AE/GC。
所以 EL/GL=EI/GI,(EL+GL)...全部
过圆内接四边形ABCD各顶点作切线围成一四边形EFGH, 求证:两个四边形对角线共点。
证明 设圆内接四边形ABCD的顶点A,B,C,D分别在切线围成的四边形EFGH边HE,EF,FG,GH上。
令AC与EG交于L，过G点作GK∥HE，交AC延长线为K，故得:
ΔALE∽ΔKLG，即有
EL:GL=AE:GK。
因为∠EAL=∠LKG， ∠EAL=∠ACF∠GCK，
所以∠GCK=∠LKG，
因此ΔGCK是等腰三角形，即GC=GK。
从而 EL/GL=AE/GC。
若BD与EG相交于I，
同理可证:
EI/GI=BE/DG=AE/GC。
所以 EL/GL=EI/GI,(EL+GL)/GL=(EI+GL)/GI,
即EG/GL=EG/GI ==> GL=GI。
即L与I重合，
因此 AC,BD,EG共点。
同理可证:
AC,BD,FH共点。
故四边形ABCD对角线AC,BD与四边形EFGH对角线EG,FH共点。收起
