求包含2的方根与3的方根的最小数域。
包含2的方根与3的方根的最小数域=
=Q(√2,√3)=Q[√2,√3,√6]={a+b√2+c√3+d√6,a,b,c,d∈Q}。
1。显然有[Q(√2):Q]=2，由于√3不是Q(√2)的元素，所以
[Q(√2)(√3):Q(√2)]=2==》[Q(√2,√3)：Q}=4。
2。显然Q[√2,√3,√6]是Q(√2,√3)的1部分。
所以Q[√2,√3,√6]为Q(√2,√3)的子空间，
只需证明1/(a+b√2+c√3+d√6)∈Q[√2,√3,√6]
ⅰ)证明1/(a+d√6)∈Q[√2,√3,√6]
1/(a+d√6)=(a-d√6)/[a^2-6d^2]∈Q[√2,√3,√...全部
包含2的方根与3的方根的最小数域=
=Q(√2,√3)=Q[√2,√3,√6]={a+b√2+c√3+d√6,a,b,c,d∈Q}。
1。显然有[Q(√2):Q]=2，由于√3不是Q(√2)的元素，所以
[Q(√2)(√3):Q(√2)]=2==》[Q(√2,√3)：Q}=4。
2。显然Q[√2,√3,√6]是Q(√2,√3)的1部分。
所以Q[√2,√3,√6]为Q(√2,√3)的子空间，
只需证明1/(a+b√2+c√3+d√6)∈Q[√2,√3,√6]
ⅰ)证明1/(a+d√6)∈Q[√2,√3,√6]
1/(a+d√6)=(a-d√6)/[a^2-6d^2]∈Q[√2,√3,√6]
ⅱ）1/(a+b√2+c√3+d√6)=
=（-a+b√2+c√3-d√6）/[（a+b√2+c√3+d√6）（-a+b√2+c√3-d√6）]=
=（-a+b√2+c√3-d√6）/[（b√2+c√3）^2-（a+d√6）^2]=
=（-a+b√2+c√3-d√6）/[2b^2+3c^2-a^2-6d^2+(2bc-2ad)√6]
由ⅰ)得1/[2b^2+3c^2-a^2-6d^2+(2bc-2ad)√6]∈Q[√2,√3,√6]
==》1/(a+b√2+c√3+d√6)∈Q[√2,√3,√6]，==》
Q(√2,√3)=Q[√2,√3,√6]]={a+b√2+c√3+d√6,a,b,c,d∈Q}，
且1，√2,√3,√6为Q(√2,√3)的1个基。
在“Q(√2＋√3）”中也可求出：
Q(√2＋√3）=包含2的方根与3的方根的最小数域
。收起
