关于一个数学公式

变上限积分公式是谁证明的?

第二讲 微积分基本公式 教学目的:掌握微积分基本公式和变上限积分的性质 难 点:变上限积分的性质与应用 重 点:牛顿----莱布尼兹公式 由上一节可以看到，尽管定积分可以用“和式极限”来计算，但利用定义来计算定积分一般是相当复杂和困难的，有时甚至是不可能的。 因此，我们必须寻求计算定积分的简便方法。 不难注意到下面的事实:设变速直线运动的速度为 ，路程为 ，则在时间区间 内运动的距离为 ;另一方面，由上节的分析可知，该距离应为 。由此有 (1) 即: 在 上的积分等于它的一个原函数在 的增量。 这一结论是否具有普遍意义呢?下面来回答这个问题。 1。变上限的积分 设函数 在区间 上连...全部

  第二讲 微积分基本公式 教学目的:掌握微积分基本公式和变上限积分的性质 难 点:变上限积分的性质与应用 重 点:牛顿----莱布尼兹公式 由上一节可以看到，尽管定积分可以用“和式极限”来计算，但利用定义来计算定积分一般是相当复杂和困难的，有时甚至是不可能的。
   因此，我们必须寻求计算定积分的简便方法。 不难注意到下面的事实:设变速直线运动的速度为 ，路程为 ，则在时间区间 内运动的距离为 ;另一方面，由上节的分析可知，该距离应为 。由此有 (1) 即: 在 上的积分等于它的一个原函数在 的增量。
   这一结论是否具有普遍意义呢?下面来回答这个问题。 1。变上限的积分 设函数 在区间 上连续， ，则 在 上连续，故积分 存在，称为变上限的积分。 为避免上限与积分变量混淆，将它改记为 。 显然，对 上任一点 ，都有一个确定的积分值与之对应(图5-6)，所以它在 上定义了一个函数，记作 。
  即 。 (2) 函数 具有如下重要性质: 定理1 如果 在区间 上连续，则由(2) 式定义的积分上限的函数 在 上可导，且有 。 (3) 证 当上限在点 处有增量 时， 。 由于 在此区间连续，由积分中值定理得 ( 介于 与 之间)。
   故 。 当 时， 。 再由 的连续性得 。 推论 若函数 在区间 连续，则变上限的函数 是 在 上的一个原函数。 由推论可知:连续函数必有原函数。 由此证明了上一章给出的原函数存在定理。 例1 求下列函数的导数: (1) ; (2) 。
   解 (1) 。 (2) 。 例2 设 均可导，求 的导数。 解 。 注 是 的复合函数，它由 ， 复合而成，求导时要用复合函数求导公式计算， 的导数计算与 完全相似。 例3 求极限 。 解 此极限为 型，用洛必达法则求解，故 2。
  牛顿-莱布尼茨公式 现在我们来证明对任意连续函数与(1)式相应的结论成立。 定理2 牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz)公式 如果函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数，则 (4) 证 由于 与 均为 的原函数，由原函数的性质知 。
   上式中令 ，得 ;再令 ，得 。 即 。 公式(4)称为牛顿-莱布尼茨公式。 牛顿-莱布尼茨公式是17世纪后叶由牛顿与莱布尼茨各自独立地提出来的，它揭示了定积分与导数的逆运算之间的关系，因而被称为微积分基本定理。
   这个定理为定积分的计算提供了一种简便的方法。 在运用时常将公式写出如下形式: (5) 例4 计算 。 解 。 例5 计算 。 解 。 例6 计算 。 解 。 例7 求 。 解 由区间可加性，得 。
   例8 求正弦曲线 在 上与 轴所围成的平面图形(图5-7)的面积。 解 这个曲边梯形的面积 。 例9 设 。求 。 解 因为定积分 是一个常数，所以，可设 =A，故 。 上式两边在[0，1]上积分得 A= ， 移项后，得 ，所以 。
   小结: 1。变上限的积分 如果 在区间 上连续，则有 。 2。牛顿-莱布尼茨公式 ，其中 是 的一个原函数，而原函数可以用不定积分的方法求得。确实是牛顿的。收起