直角三角形问题

直角三角形周长为k，求面积S的最大值。

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2019-03-02

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设直角三角形ABC三边a,b,c，斜边c. 面积S=ab/2 2ab≤a^2+b^2=c^2, √2ab≤c 2√ab≤a+b (2+√2)√ab≤a+b+c=k √ab≤[1/(2+√2)]k=(1/2)(2-√2)k ab≤(1/2)(3-2√2)k^2 S=(ab)/2≤(1/4)(3-2√2)k^2 面积S的最大值(1/4)(3-2√2)k^2

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张***

2019-03-02

22 0

S=k^2(3-2*根号（2））/4

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好***

2019-03-02

21 0

S=k^2(3-2*根号（2））/4 此时，两个直角边长度相等

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y***

2019-03-02

54 0

这是一个开放型的极值问题。解：令直角三角形的两直角边为a，b。由于三角形周长为k，∴斜边长为（k-a-b）由勾股定理，a^2+b^2=(k-a-b)^2……式① 化简式①，得：k^2+2ab-2k(a+b)=0 由于S=a*b/2,代入上式： k^2+4S-2k(a+b)=0 ∵a+b≥2根号（a*b） ∴当a=b时，S可取最值。
代入，S=k^2/(12+8*根号2) 其实这个题还可以设斜边长和其中一个角，用三角函数将剩余的变量表征出来，结果一样。

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重***

2019-03-02

23 0

等腰直角三角形时面积最大，此时面积为k^2/2(2+根号2)^2

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