函数单调性问题
判断并证明函数f(x)=(ax)/(x2-1)(a≠0)在(-1,1)上的单调性
全部回答
证明:
f(x)=(ax)/(x^-1)
西门吹雪解答基本正确，最后一步未讨论a的符号，结果所得结论不对。
取-1＜x1＜x2＜1，
f(x1)-f(x2)
=(ax1)/(x1^-1)-(ax2)/(x2^-1)
=[ax1(x2^-1)-ax2(x1^-1)]/[(x1^-1)(x2^-1)]
=a[x1x2(x2-x1)+(x2-x1)]/[(x1^-1)(x2^-1)]
=a(x2-x1)(1+x1x2)/[(x1^-1)(x2^-1)]
∵-1＜x1＜x2＜1，------> x2-x1＞0
∴(x1-1)(x2-1)＞0------>(x1^-1)(x2^-1)＞0
x1x2＞-1--------------->1+x1x2＞0
∴f(x1)-f(x2)=a(x2-x1)(1+x1x2)/[(x1^-1)(x2^-1)]＞0
∴函数f(x)=(ax)/(x^-1)(a≠0)在(-1,1)上是单调减函数
应改为：当a＞0时，f(x1)-f(x2)＞0，函数是单调减函数 ；
当a＜0时，f(x1)-f(x2)＜0，函数是单调增函数 。
。
判断并证明函数f(x)=(ax)/(x^2-1)(a≠0)在(-1,1)上的单调性。
解:在开区间(-1,1)上，分母(x^2-1) ＜ 0，当x = 0时，f(x) = 0。
1)、当a ＞ 0时
①、在区间(-1，0]上，x与(x^2 - 1)同号，且小于零。 随着|x|的减小，x/(x^2 - 1)也减小，也就是说，在区间(-1，0]上是单调减函数。
②、在区间[0，1)上，x ＞ 0，(x^2 - 1) ＜ 0，随着x的增加，x/(x^2 - 1)减小，也就是说，在区间[0，1）上是单调减函数。
所以在区间(-1,1)上，当a ＞ 0时，f(x)是单调减函数。
2)、当a ＜ 0时
①在区间(-1，0]上，x与(x^2 - 1)同号，且小于零。随着|x|的减小，x/(x^2 - 1)增加，也就是说，在区间(-1，0]上是单调增函数。
②在区间[0，1)上，x ＞ 0，(x^2 - 1) ＜ 0，随着x的增加，x/(x^2 - 1)也增加，也就是说，在区间[0，1）上是单调增函数。
所以在区间(-1,1)上，当a ＜ 0时，f(x)是单调增函数。
由此得到结论，在区间(-1,1)上，当a ＞ 0时，f(x)是单调减函数；当a ＜ 0时，f(x)是单调增函数。
证明:
f(x)=(ax)/(x^-1)
取-1＜x1＜x2＜1
f(x1)-f(x2)
=(ax1)/(x1^-1)-(ax2)/(x2^-1)
=[ax1(x2^-1)-ax2(x1^-1)]/[(x1^-1)(x2^-1)]
=a[x1x2(x2-x1)+(x2-x1)]/[(x1^-1)(x2^-1)]
=a(x2-x1)(1+x1x2)/[(x1^-1)(x2^-1)]
∵-1＜x1＜x2＜1-------->x2-x1＞0
∴(x1-1)(x2-1)＞0------>(x1^-1)(x2^-1)＞0
x1x2＞-1--------------->1+x1x2＞0
∴f(x1)-f(x2)=a(x2-x1)(1+x1x2)/[(x1^-1)(x2^-1)]＞0
∴函数f(x)=(ax)/(x^-1)(a≠0)在(-1,1)上是单调减函数
。
。
类似问题换一批
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