点到直线的距离公式的推导和直线的平行系距离的推导
点P(x0,y0)到直线L: Ax+By+C=0的距离公式的证明,除了教材上的证明外,下面给出另一种证明,如下图所示。设A≠0,B≠0,则L和x,y轴都相交。过点P(x1,y0)作L的垂线,垂足为Q。 令|PQ|=d作x轴的平行线交L于R(x1,y0),作y轴的平行线交L于S(x0,y2)。由
x1=(-By0-C)/A,=0, Ax0+By2+C=0,得x1=(-By0-C)/A,y2=(-Ax0-C)/B,
∴ |PR|=|x0-x1|=|(Ax0+By0+C)/A|
|PS|=|y0-y2|=|(Ax0+By0+C)/B|,
|RS|=√(|PR|²+|PS|²...全部
点P(x0,y0)到直线L: Ax+By+C=0的距离公式的证明,除了教材上的证明外,下面给出另一种证明,如下图所示。设A≠0,B≠0,则L和x,y轴都相交。过点P(x1,y0)作L的垂线,垂足为Q。
令|PQ|=d作x轴的平行线交L于R(x1,y0),作y轴的平行线交L于S(x0,y2)。由
x1=(-By0-C)/A,=0, Ax0+By2+C=0,得x1=(-By0-C)/A,y2=(-Ax0-C)/B,
∴ |PR|=|x0-x1|=|(Ax0+By0+C)/A|
|PS|=|y0-y2|=|(Ax0+By0+C)/B|,
|RS|=√(|PR|²+|PS|²)=[√(A²+B²)/|AB|]·|Ax0+By0+C|。
∵ d·|RS|=|PR|·|PS|,∴ d=|Ax0+By0+C|/[√(A²+B²)。
易证A=0或B=0时公式也成立。
平行线L1: Ax+By+C1=0和L2: Ax+By+C2=0间距离公式的证明:
设P0(x0,y0)是L2上任意一点,则P0到L1的距离为
d=|Ax0+By0+C1|/[√(A²+B²),又Ax0+By0+C2=0,Ax0+By0=-C2,
∴ s=|C1-C2|/[√(A²+B²)。
。收起
