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伽罗瓦群与可解群

如何判定 X^5-5X+12 的伽罗瓦群是否为可解群?

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2011-12-23

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    只要证明:X^5-5X+12=0有根式解,即X^5-5X+12 的伽罗瓦群为可解群。 五次方程(a^2+1。2a+1)X^5=aX+0。2a+1有根式解的证明 一、双曲函数李氏公式: sh(5A)+ch(5B) =16(shA+chB)^5 -20[sh(A+2B)+ch(2A-B)](shA+chB)^2 +5[3-4ch(A+2B)sh(2A-B)](shA+chB) +10[sh(A+2B)-ch(2A-B)] 二、建立方程组: 令shA+chB=kx,A+2B=α,2A-B=β,∴A=(α+2β)/5,B=(2α-β)/5 代入李氏公式中得: 16(kx)^5=20(shα+chβ)(kx)^2+5(-3+4chαshβ)(kx)+10(chβ-shα)+sh(α+2β)+ch(2α-β) 与原方程(a^2+1。
    2a+1)X^5=aX+0。2a+1进行恒等,即得方程组: ① shα+chβ=0 ② -3+4chαshβ=(3。2ak^4)/(a^2+1。2a+1)=p ③ 10(chβ-shα)+sh(α+2β)+ch(2α-β)=(3。
  2ak^5+16k^5)/(a^2+1。  2a+1)=q 进一步简化得 ① chβ=-shα ② 4chαshβ=p+3 ③ sh(α+2β)+ch(2α-β)=q+20shα 三、将方程组消元化简: 将方程②积化和差得: 2sh(α+β))=2ch(α-β)+p+3 与方程①相乘,并积化和差得:sh(α+2β)+ch(2α-β)=-(p+5)shα 与方程③相减得: shα=-q/(p+25) ∴chβ=q/(p+25) 代入方程②中得“化简方程”:(p^2+6p+25)(p+25)^4=16q^4 四、求出根式解,得出证明: 由p、q含k的代数式消去k得:(q^4)/(p^5)=5(a^2+1。
    2a+1)[(p+25)^4]/(16a^5) 结合“化简方程”消去q得求p的方程: (a^5)(p^2+6p+25)(p+25)^4=5(p^5)(a^2+1。
  2a+1)(a+5)^4 采用试根法,p=5a正好是此方程的一个解。进而求出q、k、shα、chβ和原方程的根式解。  得证 参考资料: ^2+1。2a+1)X^5=aX+0。
  2a+1有根式解的证明。

2011-12-18

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当然是可解的,其Galois群是10阶二面体群D_10(也有文献记作D_5的)。许多文献里都有这个例子(当然并不容易)。附件是Dummit的一篇文章,其中的Example (2) 就是x^5-5x+12。作者明确算出了其Galois群等于dihedral group of order 10.

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