判定矩阵能否对角化的题21
矩阵A=
2 1 -1
1 2 1
1 1 0
的特征值是 λ=0,1,3。
矩阵A有三个不相等的特征值,肯定可以对角化。
现按提问者修改后的矩阵给出求特征值和判断能否对角化的过程:
行列式|λE-A|=
|λ-2 -1 1|
| -1 λ-2 1|
| -1 -1 λ|
第1行的(-1)倍加到第2行,得
|λ-2 -1 1|
|1-λ λ-1 0|
| -1 -1 λ|
第2行提取公因式(λ-1),得(λ-1)*
|λ-2 -1 1|
| -1 1 0|
| -1 -1 λ|
第2列加到第1列,得(λ-1)*
|λ-3 -1 1|...全部
矩阵A=
2 1 -1
1 2 1
1 1 0
的特征值是 λ=0,1,3。
矩阵A有三个不相等的特征值,肯定可以对角化。
现按提问者修改后的矩阵给出求特征值和判断能否对角化的过程:
行列式|λE-A|=
|λ-2 -1 1|
| -1 λ-2 1|
| -1 -1 λ|
第1行的(-1)倍加到第2行,得
|λ-2 -1 1|
|1-λ λ-1 0|
| -1 -1 λ|
第2行提取公因式(λ-1),得(λ-1)*
|λ-2 -1 1|
| -1 1 0|
| -1 -1 λ|
第2列加到第1列,得(λ-1)*
|λ-3 -1 1|
| 0 1 0|
|-2 -1 λ|
则|λE-A|=(λ-1)(λ^2-3λ+2)=(λ-2)(λ-1)^2=0,
得λ=2,1,1。
(原答案正确!)
对重特征值λ=1,矩阵 λE-A=E-A=
-1 -1 1
-1 -1 1
-1 -1 1
初等变换为
1 1 -1
0 0 0
0 0 0
r(E-A)=1, 有n-r=3-1=2 个基础解系,即有2个线性无关的特征向量,
故矩阵A可对角化。
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