什么是方程？

极坐标方程极坐标方程

1．极坐标系 　　考查要点： 　　(1)会用极坐标确定点的位置； 　　(2)一个极坐标对应唯一的点，但是一个点的极坐标可以有无数种表示形式，如P(ρ, θ)又可以表示成 (ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+(2k+1)π)，其中k∈Z。 　　例1．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置是(　)。 　　A、关于极轴所在直线对称 　　B、关于极点对称 　　C、重合 　　D、关于直线θ=(ρ∈R)对称 　　分析：点(-ρ,π-θ)与点(ρ,-θ)是同一个点，它与点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称，答案选A。 　　例2．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A(2, ), B(2,...全部

  1．极坐标系 　　考查要点： 　　(1)会用极坐标确定点的位置； 　　(2)一个极坐标对应唯一的点，但是一个点的极坐标可以有无数种表示形式，如P(ρ, θ)又可以表示成 (ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+(2k+1)π)，其中k∈Z。
   　　例1．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置是(　)。 　　A、关于极轴所在直线对称 　　B、关于极点对称 　　C、重合 　　D、关于直线θ=(ρ∈R)对称 　　分析：点(-ρ,π-θ)与点(ρ,-θ)是同一个点，它与点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称，答案选A。
   　　例2．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A(2, ), B(2, )，那么顶点C的坐标可能是(　)。 　　A、(4, π)　　 B、(2, π)　　 C、(2, π)　　 D、(3, π) 　　分析：由题设可知A、B两点交于极点O对称，即O是AB的中点。
  又|AB|=4，ΔABC为正三角形， 　　∴|OC|=2，∠AOC=， 　　∴C对应的极角θ=+=π 　　或θ=-=-，即C点极坐标为(2, π)或(2, -) 　　∴选B。 　　2．极坐标与直角坐标互化 　　考查要点： 　　(1)会进行点的极坐标与直角坐标的互化； 　　(2)能正确地将极坐标方程化为直角坐标方程。
   　　例3．已知P(-3，)， 　　(1)若极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴正向相同，则P点的极坐标是_________。 　　(2)若极坐标系的极点在直角坐标系的O'(-3+,2)，极轴的方向与x轴正向相同，两个坐标系的长度单位相同，则P点的极坐标是__________。
   　　分析：(1)ρ==2，tgθ=-, 　　∵P点在第二象限，∴θ=π, ∴P点极坐标为(2，π)。 　　(2)如图，tga==1, ∴a=, 　　∴θ=∠x'O'P=π+=π, 　　ρ=|O'P|==, 　　∴在极坐标系O'x'中，P点的极坐标是(,π)。
   　　例4．极坐标方程ρ=cos(-θ)所表示的曲线是(　) 　　A、双曲线　　B、椭圆　　C、抛物线　　D、圆 　　方法1：将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得： 　　ρ2=ρcos(-θ)=ρ(cosθ+sinθ)=(ρcosθ+ρsinθ) 　　这样，在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中， 　　ρcosθ=x, ρsinθ=y, ρ2=x2+y2, 因此有： 　　x2+y2=(x+y), 　　∴ 方程ρ=cos(-θ)表示圆。
   　　方法2：极坐标方程ρ=2acosθ表示圆，而-θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ=cos(-θ)表示圆。 　　答案：选D。 　　例5．极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是(　) 　　A、2　　　B、　　　C、1　　　 D、 　　分析：本题有两种解法。
  第一种解法直接在极坐标系中，根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是 (，0)和(，)，这两点间的距离是。第二种解法是将方程化为直角坐标方程，因为ρ不恒为0，可以用ρ分别乘方程两边，得： 　　ρ2=ρcosθ和ρ2=ρsinθ，极坐标方程化直角坐标方程为： 　　x2+y2=x和x2+y2=y，它们的圆心分别是(，0)，(0，)，圆心距是。
   　　∴ 选D。 　　3．根据所给条件，建立曲线的极坐标方程，并利用方程研究曲线的某些性质。 　　例6．在极坐标系中，已知圆C的圆心C(3，)，半径为1。Q点在圆周上运动，O为极点。
   　　(I)求圆C的极坐标方程 　　(II)若P在直线OQ上运动，且满足OQ∶QP=2∶3，求动点P的轨迹方程。 　　解：(I)设M(ρ, θ)为圆C上任意一点，如图， 　　在ΔOCM中，|OC|=3，|OM|=ρ，|CM|=1， 　　∠COM=|θ-|，根据余弦定理，得： 　　1=ρ2+9-2·ρ·3·cos|θ-|, 化简整理，得： 　　ρ2-6·ρcos(θ-)+8=0为圆C的轨迹方程。
   　　(II)设Q(ρ1, θ1)，则有：ρ12-6ρ1cos(θ1-)+8=0。。。。。。。。。(1) 　　设P(ρ, θ)， 　　则OQ∶QP=ρ1∶(ρ-ρ1)=2∶3　ρ1=ρ, 　　又θ1=θ，即 　　代入(1)得：ρ2-6·ρcos(θ-)+8=0, 　　整理得ρ2-15ρcos(θ-)+50=0为P点的轨迹方程。
   　　习题： 　　1．点A的直角坐标为(0，-2)，则它的极坐标为__________；点B的极坐标为(-2, -)，则它的直角坐标是________。 　　2．求下列各图形的极坐标方程： 　　(1)过A(2，)平行于极轴的直线 　　(2)过A(3，)且和极轴成π的直线 　　(3)圆心在M(2，π)，半径为1 的圆 　　3．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
   　　(1)y2=4x　　　 (2)y2+x2-2x-1=0　　 (3)θ= 　　(4)ρcos2=1 　　(5)ρ2cos(2θ)=4　　 (6)ρ=。
   　　答案： 　　1．(2，-)(其它等价形式均可)，(-1，) 　　2．(1)ρsinθ= 　　(2)ρ(sinθ+cosθ)=+ 　　(3)ρ2+4ρcosθ+3=0 　　3．(1)ρsin2θ=4cosθ　　 (2)ρ2-2ρcosθ-1=0　　 (3)y=x (x≥0) 　　(4)y2=-4(x-1)　　 (5)x2-y2=4　 (6)3x2+4y2-2x-1=0 。收起