一道数学题

双曲线与直线问题1)过双曲线一个

1)ⅰ）设双曲线的方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1， 设A=（a/2，b/2），B=（a/2，-b/2） 设双曲线上两点P=tA+[1/t]B，Q=sA+[1/s]B F=(c,0)= dA+dB,d=c/a, 则P，Q，F共线，有[1/t-1/s]/[t-s]=[1/t-d]/[t-d] ==》s=[t-d]/dt-1] ⅱ）A1=（a，0），A2=（-a，0）， P=tA+[1/t]B=（[t+1/t]a/2，[t-1/t]b/2）， Q=（[s+1/s]a/2，[s-1/s]b/2） A1P：y={ [（t-1/t）b/2]/[ （t+1/t）a/2-a]}（x-a）= ={...全部

  1)ⅰ）设双曲线的方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1， 设A=（a/2，b/2），B=（a/2，-b/2） 设双曲线上两点P=tA+[1/t]B，Q=sA+[1/s]B F=(c,0)= dA+dB,d=c/a, 则P，Q，F共线，有[1/t-1/s]/[t-s]=[1/t-d]/[t-d] ==》s=[t-d]/dt-1] ⅱ）A1=（a，0），A2=（-a，0）， P=tA+[1/t]B=（[t+1/t]a/2，[t-1/t]b/2）， Q=（[s+1/s]a/2，[s-1/s]b/2） A1P：y={ [（t-1/t）b/2]/[ （t+1/t）a/2-a]}（x-a）= ={ [（t+1）b]/[ （t-1）a]}（x-a） A2Q：y={ [（s-1/s）b/2]/[ （s+1/s）a/2+a]}（x+a）= ={ [（s-1）b]/[ （s+1）a]}（x+a）= （代s=[t-d]/dt-1）） =[（1-d）/（1+d）]{ [（t+1）b]/[ （t-1）a]}（x-a） ==》M=（a^2/c，[（t+1）/（t-1）][b/c][a-c]）。
   由对称性得 N=（a^2/c，[（s+1）/（s-1）][b/c][a-c]）= （代s=[t-d]/dt-1）） =（a^2/c，[（1+d）/（1-d）][（t-1）/（t+1）][b/c][a-c]） ==》MF*NF= =（a^2/c-c，[（t+1）/（t-1）][b/c][a-c]）* （a^2/c-c，[（1+d）/（1-d）][（t-1）/（t+1）][b/c][a-c]）=（a^2/c-c）^2+[（t+1）/（t-1）][b/c][a-c] [（1+d）/（1-d）][（t-1）/（t+1）][b/c][a-c]）= = b^4/c^2+ b^2/c^2 [（1+c/a）/（1-c/a）] [a-c] ^2=0 2） ⅰ）第二题用我上面说的方法，写给你参考。
   ⅱ）设双曲线的方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1， 设A=（a/2，b/2），B=（a/2，-b/2） 则双曲线的点可写成：tA+[1/t]B，（向量的运算） 这表示方法用来计算过双曲线上两点的直线斜率较方便。
   ⅲ）设双曲线上两点tA+[1/t]B，sA+[1/s]B，s≠t。 则两点的向量=tA+[1/t]B-[sA+[1/s]B]=[t-s][A-1/st]B =[（t-s）/（2st）]（a[st-1]，b[st+1]）==》 其斜率=b[st+1]/a[st-1]。
   ⅳ）P(X0,Y0)=tA+[1/t]B M=sA+[1/s]B，N=uA+[1/u]B。 倾角互补==》b[st+1]/a[st-1]=-b[tu+1]/a[tu-1]。 ==》[st+1][tu-1]+[st-1][tu+1]=0==》 t^2su-1=0==》 MN斜率=b[su+1]/a[su-1]=b[t^2+1]/a[1-t^2]和s，u无关， 只和t有关，直线MN有只和t有关定向（即只和P(X0,Y0)有关）。
   注意：这方法实际是将双曲线用其渐进方向表示， 若会使用向量，则此法相对简单，其优点是避免开根号。
   补：只推x>0,任意x≥a，有t>0使x=a[t+1/t]/2==》 ==》y=b[t-1/t]/2，满足 x^2/a^2-y^2/b^2=1==》 （x，y）=tA+[1/t]B 。收起