不等式问题2
证明 因为a,b,c与α,β,γ逆序，所以由排序不等式得
acos(α/2)+bcos(β/2)+ccos(γ/2)a[√3/2-cos(α/2)]+b[√3/2-cos(β/2)]+c[√3/2-cos(γ/2)]>=0 (2)
由(2)的全对称性，不妨设a>=b>=c,则α>=π/3>=γ,cos(α/2)=b[√3/2-cos(α/2)]+b[√3/2-cos(β/2)]+b[√3/2-cos(γ/2)]
>=b[3√3/2-(cos(α/2)+cos(β/2)+cos(γ/2))] (3)
下面证明：cos(α/2)+cos(β/2)+cos(γ/2)<=3√3/2 (...全部
证明 因为a,b,c与α,β,γ逆序，所以由排序不等式得
acos(α/2)+bcos(β/2)+ccos(γ/2)a[√3/2-cos(α/2)]+b[√3/2-cos(β/2)]+c[√3/2-cos(γ/2)]>=0 (2)
由(2)的全对称性，不妨设a>=b>=c,则α>=π/3>=γ,cos(α/2)=b[√3/2-cos(α/2)]+b[√3/2-cos(β/2)]+b[√3/2-cos(γ/2)]
>=b[3√3/2-(cos(α/2)+cos(β/2)+cos(γ/2))] (3)
下面证明：cos(α/2)+cos(β/2)+cos(γ/2)<=3√3/2 (4)
因为cos(α/2)+cos(β/2)+cos(γ/2)+cos(π/6)
=2cos[(α+β)/4]*cos[(α-β)/4]+2cos[(γ+π/3)/4]*cos[(γ-π/3)/4]
<=2{cos[(α+β)/4]+cos[(γ+π/3)/4]}
<=4cos[(α+β+γ+π/3)/8]*cos[(α+β-γ-π/3)/4]
<=4cos[(α+β+γ+π/3)/8]
=4cos(π/6)
所以cos(α/2)+cos(β/2)+cos(γ/2)<=3cos(π/6)=3√3/2。
由(3),(4)知(2)成立,从而(1)成立。
。收起
