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复数Z1在Z1=1条件下变动

复数Z1在|Z1|=1条件下变动,而|Z-2005-2006i|=|Z1^4+1-2Z1^2|,求Z对应点所形成的区域图形的面积.

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2011-09-05

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    解: ∵|Z1^4+1-2Z1^2|=|Z1-1|^2|Z1+1|^2, 设Z1=x+yi,则x^2+y^2=1, ∴|Z1^4+1-2Z1^2| =|Z1+1|^2|Z1-1|^2 =4(1-x)(1+x) =4(1-x^2)。
   (-1≤x≤1) 易知,|Z1^4+1-2Z1^2|max=4; |Z1^4+1-2Z1^2|min=0。   故0≤|Z-2005-2006i|≤4。 即复数Z对应点形成的区域是: 以点(2005,2006)为圆心,4为半径的圆面, 其面积S=πR^2=16π。
  
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2011-09-05

52 0
  那么|Z1^4+1-2Z1^2|=|(Z1^2-1)^2| 例：设复数Z1=x+yi，（其中x^2+y^2=1）那么|Z1|=开方（x^2+y^2), 可证明，|Z1^2|=（x^2+y^2), 也就是说|(Z1^2-1)^2|=|Z1^2-1|^2=4y^2,由于y是从0-1的实数，也就是说，|Z-2005-2006i|是从0到4的实数，那么Z就是一个圆，半径为4的圆面。
  和里面的2005,2006完全没有关系。就是糊弄的。圆的面积，就不用我求了吧。
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2011-09-05

49 0
  设z1=cosa+isina,则 Z1^4+1-2Z1^2=cos4a+isin4a+1-2(cos2a+isin2a) =cos4a-2cos2a+1+i(sin4a-2sin2a) =2cos2a(cos2a-1)+2isin2a(cos2a-1) =2(cos2a-1)(cos2a+isin2a), ∴|Z-2005-2006i|=|2（cos2a-1)|<=4, ∴Z对应点所形成的区域图形（圆）的面积为16π。
  
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2011-09-05

50 0
  设z1=cosθ+isinθ,则z1^4=cos4θ+isin4θ,z1^2=cos2θ+isin2θ, ∴|Z1^4+1-2Z1^2|^2=(cos4θ-2cos2θ+1)^2+(sin4θ-2sin2θ)^2 =6-8cos2θ+2cos4θ =4(1-cos2θ)^2, ∴|Z1^4+1-2Z1^2|=2(1-cos2θ)≤4, ∴|Z-(2005+2006i)|≤4, ∴z对应的点在以(2005,2006)为圆心,4为半径的圆面上,其面积=16π。
  
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