数学题
已知α,β∈(0,π/2),且cosα=3/5,cos(α+β)=-5/13,求cos(2α+β）,cos2β的值
全部回答
∵α,β∈(0,π/2)
∴0<α+β<π
由cosα=3／5，得sinα=4／5
由cos(α+β)=-5／13，得sin(α+β)=12／13
cos(2α+β)
=cos[(α+β)+α]
=cos(α+β)cosα-sin(α+β)sinα
=(-5／13)×(3／5)-(12／13)×(4／5)
=-63／65；
cosβ
=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=(-5／13)×(3／5)+(12／13)×(4／5)
=33／65；
所以：cos2β=2cos²β-1=2×（33/65)²-1=-2047/4225。
。
。
∵α,β∩(0,π／2)
∴cosα＞0,sinα＞0；cos(α+β)＜0,sin(α+β)＞0
①cosα=3／5-----＞sinα=4／5
②cos(α+β)=-5／13----＞sin(α+β)=12／13
于是：
cos(2α+β)=cos[(α+β)+α]
=cos(α+β)cosα-sin(α+β)sinα
=(-5／13)×(3／5)-(12／13)×(4／5)
=-63／65
--------------------------------------
还少做一问
sinβ=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
=(12／13)×(3／5)-(-5／13)×(4／5)
=56／65
∴cos2β=1-2sin²β=1-2×56²／65²=(4225-6272)／4225
=-2047／4225。
。
。
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