一道数学题

已知函数f(x)=x-1-lnx

已知函数f(x)=x-1-lnx。 (1)求f（x）的最小值。 函数f(x)=x-1-lnx，定义域为：x＞0 且，f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x 则当f'(x)=0时有：x=1 又，当x＞1时，f'(x)=(x-1)/x＞0，函数f(x)单调递增； 当0＜x＜1时，f'(x)=(x-1)/x＜0，函数f(x)单调递减。 所以，f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0 （2）求证：n属于正整数，e^1+1/2+1/3……1/n>n+1 用数学归纳法： ①当n=1时，左边=e^1=e≈2。 718，右边=1+1=2 所以，左边＞右边，等式成立 ②假设当n=k（k∈N，k≥2...全部

  已知函数f(x)=x-1-lnx。 (1)求f（x）的最小值。 函数f(x)=x-1-lnx，定义域为：x＞0 且，f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x 则当f'(x)=0时有：x=1 又，当x＞1时，f'(x)=(x-1)/x＞0，函数f(x)单调递增； 当0＜x＜1时，f'(x)=(x-1)/x＜0，函数f(x)单调递减。
   所以，f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0 （2）求证：n属于正整数，e^1+1/2+1/3……1/n>n+1 用数学归纳法： ①当n=1时，左边=e^1=e≈2。
  718，右边=1+1=2 所以，左边＞右边，等式成立 ②假设当n=k（k∈N，k≥2）时不等式成立，则： e^[1+(1/2)+(1/3)+……+(1/k)]＞k+1…………………………（1） ③那么，当n=k+1时： 左边=e^[1+(1/2)+(1/3)+……+(1/k)+(1/k+1)] =e^[1+(1/2)+(1/3)+……+(1/k)]*e^[1/(k+1)] ＞(k+1)*e^[1/(k+1)]……………………………………………（2） 而由第一问的结论知，当x＞1时，f(x)=x-1-lnx＞0 ===> lnx＜x-1 ===> x＜e^(x-1) 令x-1=1/(k+1)，则：x=[1/(k+1)]+1=(k+2)/(k+1) 所以：(k+2)/(k+1)＜e^[1/(k+1)] 代入到(2)式，就有： 当n=k+1时，左边＞(k+1)*e^[1/(k+1)]＞(k+1)*[(k+2)/(k+1)]=k+2=(k+1)+1=右边 综上，当n∈N时，不等式成立。收起