正数列{an}的前n项和为Sn
an=（2√Sn）-1
an+1=2√Sn
两边平方
(an+1)^2=4Sn……（1）
an=（2√Sn）-1
a(n-1)=2[√S(n-1)]-1
a(n-1)+1=2[√S(n-1)]
两边平方
[a(n-1)+1]^2=4S(n-1)……（2）
(1)-(2)
(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2=4[Sn-S(n-1)]
an^2+2an+1-[a(n-1)]^2-2a(n-1)-1=4an
an^2-2an+1-[a(n-1)]^2-2a(n-1)-1=0
(an-1)^2-[a(n-1)+1]^2=0
[an-1+a(n-1)+1][an-1-a(n-1)-1]=0
...全部
an=（2√Sn）-1
an+1=2√Sn
两边平方
(an+1)^2=4Sn……（1）
an=（2√Sn）-1
a(n-1)=2[√S(n-1)]-1
a(n-1)+1=2[√S(n-1)]
两边平方
[a(n-1)+1]^2=4S(n-1)……（2）
(1)-(2)
(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2=4[Sn-S(n-1)]
an^2+2an+1-[a(n-1)]^2-2a(n-1)-1=4an
an^2-2an+1-[a(n-1)]^2-2a(n-1)-1=0
(an-1)^2-[a(n-1)+1]^2=0
[an-1+a(n-1)+1][an-1-a(n-1)-1]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
an+a(n-1)=0，an=-a(n-1)({an}是正项数列，不可能，舍去)
或an-a(n-1)-2=0
即an-a(n-1)=2
an=（2√Sn）-1
则a1=（2√S1）-1
则a1=(2√a1)-1
(a1+1)^2=4a1
a1^2+2a1+1-4a1=0
a1^2-2a1+1=0
(a1-1)^2=0
a1=1
因此，{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
即an=1+2(n-1)=2n-1
。
收起
