函数与不等式

已知二次函数f(x)=ax2+b

解：f(-1)=a-b+c=0得a+c=b两边平方得a2+2ac+c2=b2两边同时减4ac得b2-4ac=a2-2ac+c2(a-c)2≥0； f(x)-x=ax^2+(b-1)x+c≥0，函数恒大于0由可得(b-1)2-4ac≤0拆开得2b-1≥b2-4ac,前面已证b2-4ac=(a-c)2≥0，所以2b-1≥b2-4ac≥0；x∈(1,2)时f（x)≤((x+1)/2)平方，将1代入得f(1)=a+b+c≤1,又a+c=b（前面已证）， 所以2b≤1， 前面有2b-1≥0，两不等式可得b=1/2。 所以f(1)=a+b+c=2b=1。 (2)证明:（1）中已证2b-1≥b2-4...全部

  解：f(-1)=a-b+c=0得a+c=b两边平方得a2+2ac+c2=b2两边同时减4ac得b2-4ac=a2-2ac+c2(a-c)2≥0； f(x)-x=ax^2+(b-1)x+c≥0，函数恒大于0由可得(b-1)2-4ac≤0拆开得2b-1≥b2-4ac,前面已证b2-4ac=(a-c)2≥0，所以2b-1≥b2-4ac≥0；x∈(1,2)时f（x)≤((x+1)/2)平方，将1代入得f(1)=a+b+c≤1,又a+c=b（前面已证）， 所以2b≤1， 前面有2b-1≥0，两不等式可得b=1/2。
   所以f(1)=a+b+c=2b=1。 (2)证明:（1）中已证2b-1≥b2-4ac≥0又b=1/2,所以0≥b2-4ac≥0,可知 b2-4ac=0，又a+c=b,得a=1/4,c=1/4。
   （3）证明：f(x)=1/4x2+1/2x+1/4。g(x)在[-1,1]单调，及单调递增或者单调递减，也就是导函数恒大于0或者恒小于0。 对g(x)求导即g'(x)=f'(x)-mx'=1/2x+1/2-m在[-1,1]恒≥0或者恒≤0。
   当恒≥0时：1/2x+1/2-m≥0，m≤1/2x+1/2,m小于1/2x+1/2的最小值，将-1代入得m≤0 当恒≤0时：1/2x+1/2-m≤0，m≥1/2x+1/2,m大于1/2x+1/2的最大值，将1代入得m≥1。
   知识点：1、二次函数有2个解时，b2-4ac>0,1个解时，b2-4ac=0， 无解，也就是函数曲线与X轴不相交时，b2-4ac＜0。 如题f(x)-x≥0就可知(b-1)2-4ac≤0； 2、函数的单调性，表示单调递增或者单调递减，在某一定义域内单调递增就表示这一定义域内导函数大于0， 递减就小于0， 如题（3）说函数g(x)在[-1,1]单调，就把g(x)对x求导，倒数是一个1次函数，这个1次函数在[-1,1]内不能既有正的也有负的，这样就不是单调了。
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