请教一个四面体展开问题-三角形
一般情况下，四面体表面展开图是不规则的多边形, 那么四面体表面展开图是三角形的条件是什么？请教各位高手！！！
大家知道，正四面体的表面展开图是正三角形。一般四面体的表面展开图不一定是三角形，而是不规则的多边形。
四面体表面展开图是三角形的条件是什么？我们有如下结论:
(1)，四面体表面展开图为三角形的充要条件是四面体三组对棱分别相等。
(2)，如果四面体表面展开图是三角形，那么这个三角形必为锐角三角形。
(3)，锐角三角形可以作为一个四面体的表面展开图。
以上三个命题证明不难！
此问题参见,陈铨译，一百个数学问题，上海教育出版社。
命题1 四面体表面展开图为三角形的充要条件是四面...全部
一般情况下，四面体表面展开图是不规则的多边形, 那么四面体表面展开图是三角形的条件是什么？请教各位高手！！！
大家知道，正四面体的表面展开图是正三角形。一般四面体的表面展开图不一定是三角形，而是不规则的多边形。
四面体表面展开图是三角形的条件是什么？我们有如下结论:
(1)，四面体表面展开图为三角形的充要条件是四面体三组对棱分别相等。
(2)，如果四面体表面展开图是三角形，那么这个三角形必为锐角三角形。
(3)，锐角三角形可以作为一个四面体的表面展开图。
以上三个命题证明不难！
此问题参见,陈铨译，一百个数学问题，上海教育出版社。
命题1 四面体表面展开图为三角形的充要条件是四面体三组对棱分别相等。
证明 必要性: 若四面体S-DEF的表面展开图为ΔABC，则D,E,F分别为BC,CA,AB的中点，
因此AF=BF=DE，BD=CD=EF，CE=AE=FD。
即SF=DE，SD=EF，SE=FD。
故四面体S-DEF的三组对棱分别相等。
充分性:若四面体S-DEF的三组对棱分别相等，
即SF=DE，SD=EF，SE=FD。
则有ΔSDF≌ΔFES≌DSE≌ΔEFD，
故∠SFD=∠DES，∠SFE=∠EDS，∠DFE=∠ESD，
因而∠SFD+∠SFE+∠DFE=∠DES+∠EDS+∠ESD=180°
同理可证:
∠SDF+∠SDE+∠FDE=180°，
∠SEF+∠SED+∠FED=180°。
因此，四面体S-DEF的表面展开图必为三角形。命题1得证。
备注:从上面论证中可看出:楼上姑苏寒士的命题:组成四个顶角的每组的三个角之和都是180度与上述命题是等价的。
昨天因为没有详细证明，误认为楼上的解答不严谨，不正确！在此道歉，敬请谅解！
在此谢谢zhh2360！
命题2 如果四面体表面展开图是三角形，那么这个三角形必为锐角三角形。
简证 设四面体S-DEF的表面展开图为ΔABC，不妨设∠C为最大角，由于三面角的任何一个面角小于其它两个面角的和，
因而有∠DSE<∠ESF+∠FSD。
该式在ΔABC中即为:∠C<∠A+∠B。
由于:∠C+∠A+∠B=180°，
故得:∠C<90°。
因而ΔABC为锐角三角形。命题2得证。
命题3 锐角三角形可以作为一个四面体的表面展开图。
请自证吧！
。
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