关于平面解析几何的深层次问题

  本科是学的计算机专业，对于数学有着很高的要求。然而高中数学中讲述知识太少，主要是平面解析几何中的二次曲线问题，部分知识点高中没学，而大学数学课程中又没讲述，造成遗漏和盲点断层。后续专业课学习起来，基础不够。 我的具体问题如下：二次方程形如：A。X^2 + B。
  XY + C。Y^2 + D。X + E。Y + F =0 其中ABC≠0 根据数形结合的思想，它可能表示二次曲线，如椭圆、双曲线、抛物线，还可能表示两条相交直线。 1。 比如，式子（X+2Y+1）^2=0 展开后，得到上述二次方程，它表示一条直线。
   2。 比如，式子（X+Y+1）(2X+Y+2)=O 展开后，得到上述二次方程，它表示两条相交直线。 3。 比如，一椭圆左焦点（1，0），右焦点（2，-1），告诉相应的长轴和短轴大小之后，可以求得准线方程，利用椭圆的第二定义，即某点到焦点和距离和到准线的距离之比，为一小于1的定值（离心率），可以建立一个含有XY的二次方程，变形展开后，可以得到 A。
  X^2 + B。XY + C。Y^2 + D。X + E。Y + F =0 的标准形式。 只不过，这个椭圆，并非标准形式的端正椭圆（X^2/a+Y^2/b=1）。如果把图形画出来，它的长轴和短轴并不平行于坐标轴。即使是说，它是经过坐标旋转和平移后得到的） 同理，双曲线和抛物线也会有这种情况。
  即经过坐标平移和旋转后得到的双曲线和抛物线。 其中，坐标平移高中学过了，不难。但坐标旋转，没学过。但查资料后我知道了转轴公式：x=acosα+xo y=bsinα+yo 根据常识，形如A。X^2 + B。XY + C。Y^2 + D。
  X + E。Y + F =0 只要C≠0 ,即涉及到XY的交叉项，就必定涉及坐标旋转。 我的最终问题是，如何逆向推导，即根据形如 A。X^2 + B。XY + C。Y^2 + D。X + E。Y + F =0 其中ABC≠0 的方程，如何判断它表示什么图形，什么时候表示直线、椭圆、双曲线、抛物线？（特别注意这同时涉及坐标旋转和平移，比较复杂） 如果表示直线，怎样求出直线方程？ 如果表示椭圆，它的左右焦点坐标是多少，长轴和短轴长是多少？准线方程多少？同样双曲线的焦点坐标、实轴和虚轴长多少？准线多少？抛物线也是。
   我翻阅过很多资料，发现都找不到这方面的答案。恳请，高手给出详细的指导和讲述。 例题，已知方程：7X^2 + 7Y^2 -2X。Y -12X +20Y +12=0 表示椭圆，请求出两焦点坐标，长短轴大小，准线方程。 。