一道高中数学证明题已知a,b为正
(a+b)^n-a^n-b^n≥2^2n-2^(n+1)
若n=1,命题显然成立(两边相等）
若n≥2
1/a+1/b=1
显然a>1且b>1
a+b=ab
2ab≤a^2+b^2
4ab≤(a+b)^2
ab≥4（a=b=2时等号成立）
a≥4/b
a+b-ab=0
(a-1)(b-1)=1
b=1+1/(a-1)
(a+b)^n-a^n-b^n=(ab)^n-a^n-b^n=(a^n-1)(b^n-1)-1
2^2n-2^(n+1)=(2^n-1)^2-1
只需证明 (a^n-1)(b^n-1)≥(2^n-1)^2
因为n≥2
(a^n-1)(b^n-1)
=[(1+a+a^2+。 ...全部
(a+b)^n-a^n-b^n≥2^2n-2^(n+1)
若n=1,命题显然成立(两边相等）
若n≥2
1/a+1/b=1
显然a>1且b>1
a+b=ab
2ab≤a^2+b^2
4ab≤(a+b)^2
ab≥4（a=b=2时等号成立）
a≥4/b
a+b-ab=0
(a-1)(b-1)=1
b=1+1/(a-1)
(a+b)^n-a^n-b^n=(ab)^n-a^n-b^n=(a^n-1)(b^n-1)-1
2^2n-2^(n+1)=(2^n-1)^2-1
只需证明 (a^n-1)(b^n-1)≥(2^n-1)^2
因为n≥2
(a^n-1)(b^n-1)
=[(1+a+a^2+。
。。+a ^(n-1)]×[1+b+b^2。。。b ^(n-1)]*[(a-1)*(b-1)]
=[(1+a+a^2+。。。+a ^(n-1)]×[1+b+b^2。。。b ^(n-1)]
≥(1+√(ab)+√[(ab)^2]+。
。。+√{[a ^(n-1)][b ^(n-1)]}^2
≥[1+2+2^2。。。+2 ^(n-1)]^2
={[1+2+2^2。。。+2 ^(n-1)]×(2-1)}^2
=(2^n-1)^2
不等式得证！。
收起
