已知F1、F2是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点,已知F1、F2是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的点,若AF2向量*F1F2向量=0,椭圆的离心率等于二分之根号二 ,三角形AOF2的面积为二倍根号二 求椭圆的方程
向量AF2×向量F1F2=0,说明AF2⊥F1F2
也就是说点A的横坐标为F2的横坐标相等,都是c
根据椭圆的第二定义,点A到F2的距离为点A到右准线的距离×离心率e。
点A的横坐标为c,到右准线的距离为a^2/c-c
所以AF2的距离为e(a^2/c-c),该距离就是三角形AOF2的高。
三角形AOF2的底就是c
所以1/2×c×e(a^2/c-c)=2√2
化简后,得1/2×e×(a^2-c^2),因为a^2-c^2=b^2
所以1/2×e×b^2=2√2,e=(√2)/2,所以b^2=8,b=2√2
a^2-c^2=8,c/a=e=(√2)/2,解方程组,得:a=4
因为a=4,b=2√2
所以椭圆的标准方程为x^2/16+b^2/8=1。
。
AF2向量*F1F2向量=0, ∴AF2⊥F1F2(x轴), ∴xA=xF2=c, 代入椭圆方程得yA=b^2/a, ∴三角形AOF2的面积=b^2*c/(2a)=2√2, 又椭圆的离心率c/a=(√2)/2, ∴a=c√2,b^2=8=c^2,a^2=16. ∴椭圆方程为x^2/16+y^2/8=1.