四年制初三代数题。已知a,b,c
(b-x)^2-4(a-x)(b-x)=0
--->b^2-2bx+x^2-4[ac-(a+c)x+x^2]=0
--->-3x^2+2[2(a+c)-b]x-(4ac-b^2)=0
--->3x^2-2[2(a+c)-b]x-(b^2-4ac)=0。
本方程有相等的实数根，与判别式=0等价。
△/4=[2(a+c)-b]^2+3(b^2-4ac)
=4(a+c)^2-4(a+c)b+b^2-3b^2-12ac
=4(a+c)^2-4(a+c)b+4b^2+-12ac
=4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(1)
=4[a^2-(b+c)a+(b^2+c^2-bc)]
=4{...全部
(b-x)^2-4(a-x)(b-x)=0
--->b^2-2bx+x^2-4[ac-(a+c)x+x^2]=0
--->-3x^2+2[2(a+c)-b]x-(4ac-b^2)=0
--->3x^2-2[2(a+c)-b]x-(b^2-4ac)=0。
本方程有相等的实数根，与判别式=0等价。
△/4=[2(a+c)-b]^2+3(b^2-4ac)
=4(a+c)^2-4(a+c)b+b^2-3b^2-12ac
=4(a+c)^2-4(a+c)b+4b^2+-12ac
=4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(1)
=4[a^2-(b+c)a+(b^2+c^2-bc)]
=4{[a^2-(b+c)a+(b+c)^2/4]-(b+c)^2/4+(b^2+c^2-bc)}
=4[a-(b+c)/2]^2+3/4*(b^2+c^2-2bc)]
=[2a-(b+c)]^2+3(b-c)^2
>=0。
恒成立。
当仅当2a-(b+c)=0b-c=0,也就是a=b=c时“=”成立。
所以△ABC是正三角形。
【如果直接引用教科书上的不等式：a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca,就可以直接、简洁地证得△>=0的结果。
】。收起
