椭圆问题
离心率的取值范围。已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)上的任一点到其上顶点的最大距离等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是多少？
全部回答
点P(acost,bsint)到点B(0,b)的距离
|PB|^2=(acost)^2+(bsint-b)^2
=a^2*(cost)^2+b^2*[(sint)^2-2sint+1]
=a^2*[1-(sint)^2]+b^2*[(sint)^2-2sint+1]
=(b^2-a^2)(sint)^2-2b^2*sint+a^2+b^2
=(b^2-a^2)[sint-b^2/(b^2-a^2)]^2+a^4/(a^2-b^2），
当a^2>=2b^2时|PB|的最大值=a^2/c,这里c=√（a^2-b^2);
依题意a^2=(√2）/2。
当a^2<2b^2，sint=-1时|PB|的最大值=2b。依题意 a^2<2(a^2-c^2),且2b=a^2/c, 前者即0<c/a<(√2）/2，（1） 后者即4c^2*(a^2-c^2)=a^4,∴a^2=2c^2,c/a=(√2）/2，与(1)矛盾。
∴该椭圆的离心率的取值范围是[(√2）/2，1）。 。
当a^2<2b^2，sint=-1时|PB|的最大值=2b。依题意 a^2<2(a^2-c^2),且2b=a^2/c, 前者即0<c/a<(√2）/2，（1） 后者即4c^2*(a^2-c^2)=a^4,∴a^2=2c^2,c/a=(√2）/2，与(1)矛盾。
∴该椭圆的离心率的取值范围是[(√2）/2，1）。 。
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