数列求证设数列有A1=2
数列求证:设数列有A1=2,A(n+1)=An+1/An 求证:An＞√2n+1对一切正整数n成立设数列有A1=2,A(n+1)=An+1/An 求证:An＞√2n+1对一切正整数n成立 要快.谢谢了
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证明：(开方即 1/2 次方,用^表示)
n=1时，A_1 = 4^(1/2) = 2 > (2*1 + 1)^(1/2) = 3^(1/2);
假设n=k时，A_k > (2k + 1)^(1/2);
则n=(k+1)时，A_(k+1) = A_k + 1/A_k;
欲证结果，只需证（A_k + 1/A_k）^2 > (2k + 3);而
（A_k + 1/A_k）^2 = (A_k)^2 + 2 + 1/[(A_k)^2] > 2k + 1 + 2 + 1/[(A_k)^2] = (2k + 3) + 1/[(A_k)^2];
易知A_k > 0且单调递增。
因而1/[(A_k)^2] > 0; 所以，（A_k + 1/A_k） > (2k + 3)^(1/2)。
因而1/[(A_k)^2] > 0; 所以，（A_k + 1/A_k） > (2k + 3)^(1/2)。
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