不等式问题3

设x,y,z为非负实数.求证 (x^3+xyz)/(y+z)+(y^3+xyz)/(z+x)+(z^3+xyz)/(x+y)＞=x^2+y^2+z^2

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2010-02-09

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设x,y,z为非负实数。
求证 (x^3+xyz)/(y+z)+(y^3+xyz)/(z+x)+(z^3+xyz)/(x+y)>=x^2+y^2+z^2 x=min(x,y,z), x(x-y)(x-z)/(y+z)+y(y-z)(y-x)/(z+x)+z(z-x)(z-y)/(x+y)>=0 x(x-y)(x-z)/(y+z)+(y^2+yz+z^2-x^2)(y-z)^2/[(z+x)(x+y)]>=0 。

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1***

2010-02-10

49 0

设x,y,z为非负实数。求证 (x^3+xyz)/(y+z)+(y^3+xyz)/(z+x)+(z^3+xyz)/(x+y)>=x^2+y^2+z^2 (1) 证明 (1)[(x^3+xyz)/(y+z)-x^2]+[(y^3+xyz)/(z+x)-y^2]+[(z^3+xyz)/(x+y)-z^2]>=0 [x/(y+z)](x-y)(x-z)+[y/(z+x)](y-z)(y-x)+[z/(x+y)](z-x)(z-y)>=0 (2) 由(2)的全对称性，不妨设x>=y>=z,则x/(y+z)>=y/(z+x),(x-y)(x-z)>=0,(z-x)(z-y)>=0,于是 [x/(y+z)](x-y)(x-z)+[y/(z+x)](y-z)(y-x)+[z/(x+y)](z-x)(z-y) >=[x/(y+z)](x-y)(x-z)+[y/(z+x)](y-z)(y-x) >=[y/(z+x)](x-y)(x-z)+[y/(z+x)](y-z)(y-x) =[y/(z+x)](x-y)[(x-z)-(y-z)] =[y/(z+x)](x-y)^2 >=0, 因此，不等式(2)成立，从而不等式(1)成立。
。

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