数学问题:过点P(4,4)与抛物
1,过点P(4,4)与抛物线y^2=2x只有一个公共点的直线有________3条_________
点P(4,4)在抛物线y^2=2x外，因此过点P可以作抛物线的两条切线（沿着斜向上或者斜向下的方向）
此外，过点P作抛物线对称轴（即x轴）的平行线，与抛物线也只有1个公共点
所以，总共有3条
2,直线y=kx+1(k∈R)与椭圆x^2/5+y^2/m=1恒有公共点,则m的取值范围_______[1,+∞)__________
直线y=kx+1(k∈R)恒经过点P(0,1)
椭圆与y轴的交点为(0,±√m)（因为是椭圆，所以m＞0）
要满足直线与椭圆恒有公共点，则点P必须在椭圆上，或者在椭圆...全部
1,过点P(4,4)与抛物线y^2=2x只有一个公共点的直线有________3条_________
点P(4,4)在抛物线y^2=2x外，因此过点P可以作抛物线的两条切线（沿着斜向上或者斜向下的方向）
此外，过点P作抛物线对称轴（即x轴）的平行线，与抛物线也只有1个公共点
所以，总共有3条
2,直线y=kx+1(k∈R)与椭圆x^2/5+y^2/m=1恒有公共点,则m的取值范围_______[1,+∞)__________
直线y=kx+1(k∈R)恒经过点P(0,1)
椭圆与y轴的交点为(0,±√m)（因为是椭圆，所以m＞0）
要满足直线与椭圆恒有公共点，则点P必须在椭圆上，或者在椭圆内。
所以：√m≥1
即，m≥1
3,过双曲线2x^2-y^2=2的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有_______2条_________
双曲线标准式为：x^2-y^2/2=1
所以，a^2=1,b^2=2
则，c^2=a^2+b^2=3
所以，c=±√3
即，右焦点为F(√3,0)
①设过点F(√3,0)的直线为：y=k(x-√3)（k存在时）
联立直线与双曲线方程有：
2x^2-y^2-2=0
y=k(x-√3)
===> 2x^2-[k(x-√3)]^2-2=0
===> 2x^2-k^2x^2+2√3k^2x-3k^2-2=0
===> (2-k^2)x^2+2√3k^2x-(3k^2+2)=0
===> x1+x2=2√3k^2/(k^2-2)、x1x2=(3k^2+2)/(k^2-2)
===> (x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=12k^4/(k^2-2)^2-4(3k^2+2)/(k^2-2)
=[12k^4-4(3k^2+2)(k^2-2)]/(k^2-2)^2
=[12k^4-4(3k^4-4k^2-4)](k^2-2)^2
=(12k^4-12k^4+16k^2+16)/(k^2-2)^2
=16(k^2+1)/(k^2-2)^2
且，y1-y2=k(x1-√3)-k(x2-√3)=k(x1-x2)
所以，(y1-y2)^2=k^2(x1-x2)^2
则，|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(k^2+1)(x1-x2)^2
=16(k^2+1)^2/(k^2-2)^2
=16
===> (k^2+1)^2=(k^2-2)^2
===> k^2+1=k^2-2（无解、舍去），或者k^2+1=2-k^2
===> 2k^2=1
===> k^2=1/2
===> k=±√2/2
所以，直线方程为：y=±(√2/2)(x-√3)
②当过点F的直线不存在时，即直线与x轴垂直
此时，x=√3
那么，由双曲线2x^2-y^2=2得到：2*(√3)^2-2=y^2
所以，y^2=4
则，y=±2
即直线x=√3与双曲线的交点为A(√3,2)、B(√3,-2)
那么，|AB|=|2-(-2)|=4
综上：
满足条件的直线一共有3条【答案错误！】
4,椭圆x^2/36+y^2/16=1内有一点P(3,2),过P的弦AB恰被P平分,则AB直线的方程_____y-2=-2(x-3)/3_____
首先，由椭圆的对称性知，过点P且与x轴垂直的直线肯定不会被点P平分，所以这样的直线斜率一定存在
那么，设过点P(3,2)的直线为：y-2=k(x-3)
即：y=kx-(3k-2)
联立椭圆与直线方程得到：
y=kx-(3k-2)
4x^2+9y^2-144=0
===> 4x^2+9[kx-(3k-2)]^2-144=0
===> 4x^2+9k^2x^2-18k(3k-2)x+9(3k-2)^2-144=0
===> (9k^2+4)x^2-18k(3k-2)x+(18k^2-108k-108)=0
===> x1+x2=18k(3k-2)/(9k^2+4)
===> AB中点的横坐标为Px=(x1+x2)/2=9k(3k-2)/(9k^2+4)
已知P点的横坐标Px=3
所以：9k(3k-2)/(9k^2+4)=3
===> 3k(3k-2)=9k^2+4
===> 9k^2-6k=9k^2+4
===> -6k=4
===> k=-2/3
所以，直线方程为：y-2=(-2/3)(x-3)
5,椭圆mx^2+ny^2=1与直线x+y-1=0交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线斜率为√2/2,则n/m=____√2______
联立椭圆与直线方程得到：
mx^2+ny^2-1=0
y=1-x
===> mx^2+n(x-1)^2-1=0
===> mx^2+nx^2-2nx+n-1=0
===> (m+n)x^2-2nx+(n-1)=0
===> x1+x2=2n/(m+n)
而，y1+y2=(1-x1)+(1-x2)=2-(x1+x2)=2-[2n/(m+n)]=2m/(m+2n)
所以，AB中点C的坐标为：
Cx=(x1+x2)/2=n/(m+n)
Cy=(y1+y2)/2=m/(m+n)
所以，OC所在直线的斜率Koc=(Cy-0)/(Cx-0)=Cy/Cx
=[m/(m+n)]/[n/(m+n)]
=m/n
=√2/2
所以，n/m=1/(√2/2)=√2。
收起
