数学函数导数过点极大值问题

已知函数f(x)=1/3x^3-

已知函数f(x)=1/3x^3-1/2ax^2-2a^2+1 (1)求函数f(x)的极值 (2)若函数y=f(x)的图像与y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围 (3)已知不等式f'(x)＜x^2-x+1对任意x∈（1，正无穷）都成立，求实数a的取值范围 解： (1)函数一阶导数:f'(x)=x^2-ax=0, 算出x1=0, x2=a为对应的极值横坐标。 带入x1,x2 则f(x1)和f(x2)就是对应的极值, f(x1)=f(0)=-2a^2+1 f(x2)=f(a)==-1/6a^3-2a^2+1 函数二阶导数f''(x）=2x-a 二阶导数为正，就是极小； 二阶导数为负，则是极...全部

  已知函数f(x)=1/3x^3-1/2ax^2-2a^2+1 (1)求函数f(x)的极值 (2)若函数y=f(x)的图像与y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围 (3)已知不等式f'(x)＜x^2-x+1对任意x∈（1，正无穷）都成立，求实数a的取值范围 解： (1)函数一阶导数:f'(x)=x^2-ax=0, 算出x1=0, x2=a为对应的极值横坐标。
   带入x1,x2 则f(x1)和f(x2)就是对应的极值, f(x1)=f(0)=-2a^2+1 f(x2)=f(a)==-1/6a^3-2a^2+1 函数二阶导数f''(x）=2x-a 二阶导数为正，就是极小； 二阶导数为负，则是极大； a>0则 f''(0)0>f''(a);f(a)极大,f(0)极小 a=0则 f''(0)=0,没有极值，因为f''(0)=0二阶导数在点0也是0，但三阶导数为2不是零。
   (2)图像与y=0恰有三个交点，请看Matlab图像， 充要条件是x1≠x2并且f(x1)*f(x2)0时(由(1)问f(0)极大,f(a)极小得到以下不等式)， 由f(x1)=f(0)=-2a^2+1>0 推出 -0。
  70710。6877， 所以0。68770。7071， 由f(x2)=f(a)==-1/6a^3-2a^2+1>0， 推出:a1-1/x, 而1-1/x的最大值是1当x∈（1,+∞）时取x=+∞， 所以推出a>=1时f'(x)＜x^2-x+1对任意x∈（1,+∞）成立。
   另外有函数曲线图帮助理解。 。收起