椭圆E的中心椭圆E的中心在原点O
解：设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞ 0），
由e=c/a=√(2/3)及a^2=b^2+c^2得a^2=3b^2，故椭圆方程为x^2+3y^2=3b^2 (1)
（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
并且向量CA=向量λBC（λ≥2）
∴（x1+1，y1）=λ（-1-x2，-y2），
即方程
x1+1=-λ(x2+1)
y1=-λy2 (2)
把y=k（x+1）代入椭圆方程,得:
（3k^2+1）x^2+6k^2x+3k^2-3b^2=0,且△=k^2（3b^2-1）+b^2>0,
∴x...全部
解：设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞ 0），
由e=c/a=√(2/3)及a^2=b^2+c^2得a^2=3b^2，故椭圆方程为x^2+3y^2=3b^2 (1)
（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
并且向量CA=向量λBC（λ≥2）
∴（x1+1，y1）=λ（-1-x2，-y2），
即方程
x1+1=-λ(x2+1)
y1=-λy2 (2)
把y=k（x+1）代入椭圆方程,得:
（3k^2+1）x^2+6k^2x+3k^2-3b^2=0,且△=k^2（3b^2-1）+b^2>0,
∴x1+x2=-6k^2/(3k^2+1) (3)
x1x2=(3k^2-3b^2)/(3k^2+1) (4)
∴S△OAB=(1/2) √(1+k^2)Ιx1-x2ΙΙkΙ/√(1+k^2)Ι
=(1/2)ΙkΙΙx1-x2Ι
=Ιλ+1Ι/2ΙΙkΙΙx2+1Ι
联立(2)、(3)得：x2+1=2/[(1-λ)(3k^2+1)]
∴S△OAB=(λ+1)/(λ-1)×[ΙkΙ/(3k^2+1)] (k≠0)
（2）S△OAB=（λ+1）/(λ-1)×[ΙkΙ/(3k^2+1)]
= （λ+1）/(λ-1)×1/[3ΙkΙ+（1/ΙkΙ）]
≤（λ+1）/(λ-1)×1/2√3 (λ≥2)
当且仅当3ΙkΙ=1/ΙkΙ
即k=±√3/3时，S△OAB取得最大值。
此时 ，
又∵x1+1=-λ（x2+1），
∴x1=1/(λ-1),x2=-λ/(λ-1)，
代入(4)得：3b^2=(λ^2+1)/ (λ-1)^2
故此时椭圆的方程为 x^2+3y^2=(λ^2+1)/(λ-1)^2 (λ≥2)
（3）由(2)、(3)联立得：
x1=-2λ/[(λ-1)(3k^2+1)]-1, x2=2/[(λ-1)(3k^2+1)]-1
将x1、x2代入(4)得：3b^2=4λ/[(λ-1)^2(3k^2+1)]+1
由k^2=λ-1
得：3b^2=4λ/[(λ-1)^2(3k^2-2)]+1
=(4/3)[1/(λ-1)^2+2/[ (λ-1)^2(3k^2-2)]+1
易知：当λ≥2时，3b^2是λ的减函数，
故当λ=2时，(3b^2)max=3。
故当λ=2，k=±1时，
椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x^2+3y^2=3。
。收起
