一个常数变易法求解的例子

    与非齐次方程 y"+ay'+by=f(x)对应的齐次方程 y"+ay'+by=0 如果有线性无关的两个特解y1(x)和y2(x)。 则齐次方程 y"+ay'+by=0 的通解为 y=C1*y1(x)+C2*y2(x)。
   在f(x)为特殊形式的时候，用常数变易法，即把齐次通解中的任意【常数】【变易】为待定函数，得到原非齐次方程的特解的表达式y*=c1(x)*y1(x)+c2(x)*y2(x)。   ①代入原方程，由于 y*=c1(x)*y1(x)+c2(x)*y2(x)， (y*)'=c1'(x)*y1(x)+c2'(x)*y2(x)+c1(x)*y1'(x)+c2(x)*y2'(x)， (y*)"=[c1'(x)*y1(x)+c2'(x)*y2(x)]'+c1'(x)*y1'(x)+c2'(x)*y2'(x)+c1(x)*y1"(x)+c2(x)*y2"(x)， 得到[c1'(x)*y1(x)+c2'(x)*y2(x)]'+c1'(x)*y1'(x)+c2'(x)*y2'(x)+ +c1(x)*[y1"(x)+ay1'(x)+by1(x)]+c2(x)*[y2"(x)+ay2'(x)+by2(x)]=f(x)， 即[c1'(x)*y1(x)+c2'(x)*y2(x)]'+c1'(x)*y1'(x)+c2'(x)*y2'(x)=f(x)。
     这是一个【不定方程】，据此无法确定两个待定函数。 ②【所以必须】再添加一个【约束方程】，才有可能确定两个待定函数。。 ③“约束方程”在原则上是可以随意添加的，但是我们要看产生的效果最好。
  【效果好】的评判标准，是在附加方程约束下，能将原【不定方程】的形式能化得更简单。   如果我们选择【c1'(x)*y1(x)+c2'(x)*y2(x)=0……（1）】 作为约束方程， 那么在附加方程约束下，能将原【不定方程】[c1'(x)*y1(x)+c2'(x)*y2(x)]'+c1'(x)*y1'(x)+c2'(x)*y2'(x)=f(x) 化简为【c1'(x)*y1'(x)+c2'(x)*y2'(x)=f(x)……（2）】。
     由于y1(x)和y2(x)线性无关，所以由（1）、（2）构成的，以c1'(x)和c2'(x)为待定（未知）函数的方程组的解存在且唯一。 。