一道函数题目
已知a是实数，函数y=2aX+2X-3-a,如果函数在区间[-1,1]上与X抽只有一个交点，求a的取值范围2aX中的X有一个平方
全部回答
三楼考虑问题确实比1楼、2楼更周密，他正确地指出了【鱼儿，曼丽的解答都漏掉了另一种情况：函数与X轴的交点恰好是抛物线的顶点，且顶点在[-1,+1]上】的可能性。
但是三楼把验证这种【可能性】的过程写得太简略了，要令人信服必须稍详细一些。
我来做一个详细的补充： 【问题】f(x)=2ax^2+2x-3-a的图象在区间[-1,1]上与x抽只有一个交点。 【分析与解】有两种可能： (1)当f(-1)·f(1)≤0时 →(a-1)(a-5)≤0 →1≤a≤5。
但a=5时，但方程5x^2+x-4=0， 即(5x-4)(x+1)=0，它在[-1,1]内却有两个根-1和4/5,不合题意, ∴ a≠5, ∴ a∈[1,5)。 (2)当f(-1)·f(1)＞0时 △=0，f{(-2)/[2*(2a)]}=0，即 f[-1/(2a)]=0，且-1≤-1/(2a)≤1。
①△=0→2a^2+6a+1=0 →a=(-3±√7)/2， ②验正f[-1/(2a)]=0是否成立？ △=0时，函数f(x)=2ax^2+2x-3-a的图象必然与x轴相切，即与x轴只有一个交点x=-1/(2a)，必有f[-1/(2a)]=0； ③验证：-1≤-1/(2a)≤1是否成立？ 经过验证当a=(-3+√7)/2=-0。
177……时，不满足-1≤-1/(2a)≤1； 当a=(-3-√7)/2=-2。822……时，满足-1≤-1/(2a)≤1。 说明函数f(x)=2ax^2+2x-3-a的图象x轴的切点横坐标确实在区间[-1,+1]上。
【结论】a的取值范围是a∈[1,5)，或a=(-3-√7)/2。 。
我来做一个详细的补充： 【问题】f(x)=2ax^2+2x-3-a的图象在区间[-1,1]上与x抽只有一个交点。 【分析与解】有两种可能： (1)当f(-1)·f(1)≤0时 →(a-1)(a-5)≤0 →1≤a≤5。
但a=5时，但方程5x^2+x-4=0， 即(5x-4)(x+1)=0，它在[-1,1]内却有两个根-1和4/5,不合题意, ∴ a≠5, ∴ a∈[1,5)。 (2)当f(-1)·f(1)＞0时 △=0，f{(-2)/[2*(2a)]}=0，即 f[-1/(2a)]=0，且-1≤-1/(2a)≤1。
①△=0→2a^2+6a+1=0 →a=(-3±√7)/2， ②验正f[-1/(2a)]=0是否成立？ △=0时，函数f(x)=2ax^2+2x-3-a的图象必然与x轴相切，即与x轴只有一个交点x=-1/(2a)，必有f[-1/(2a)]=0； ③验证：-1≤-1/(2a)≤1是否成立？ 经过验证当a=(-3+√7)/2=-0。
177……时，不满足-1≤-1/(2a)≤1； 当a=(-3-√7)/2=-2。822……时，满足-1≤-1/(2a)≤1。 说明函数f(x)=2ax^2+2x-3-a的图象x轴的切点横坐标确实在区间[-1,+1]上。
【结论】a的取值范围是a∈[1,5)，或a=(-3-√7)/2。 。
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