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设AB为n阶矩阵

设A，B为n阶矩阵，B可逆，(A-E)^(-1)=(B-E)^T,证明矩阵A也可逆.RT

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2009-09-25

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证：由已知得 (A-E)(B-E)^T=E，显然(B-E)^T也可逆，展开得 AB^T-A-B^T+E=E，即 A(B^T-E)=B^T，两边取行列式得 |A||B^T-E|=|B^T|，故|A|≠0，即A可逆。

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2009-10-04

150 0

  分析：要证A可逆 则需证|A|≠0（矩阵可逆的充要条件） 证：由已知得 (A-E)(B-E)^T=E， (A-E)^(-1)存在 则|(A-E)^(-1）|≠0 即|（B-E)^T|≠0 所以(B-E)^T也可逆，展开得 AB^T-A-B^T+E=E，即 A(B^T-E)=B^T，两边取行列式得 |A||B^T-E|=|B^T| 因为B可逆 所以|B|=|B^T||≠0 又|（B-E)^T|≠0 故|A|≠0， 即A可逆得证。
  

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