高二不等式f(x)=ax^2+b
f(x)=ax^+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1。求证:(1)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2 (2)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2，求f(x)
(1)证:|g(x)|=|ax+b|≤|ax|+|b|≤|a|+|b|
①当a,b同号时:|a|+|b|=|a+b|=|(a+b+c)-c|=|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2
∴|g(x)|≤2
②当a,b异号时:|a|+|b|=|a-b|=|(a-b+c)-c|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+|f(0)|
∴|g(x)|≤2
不论a,b同号或异号时都有:|g...全部
f(x)=ax^+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1。求证:(1)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2 (2)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2，求f(x)
(1)证:|g(x)|=|ax+b|≤|ax|+|b|≤|a|+|b|
①当a,b同号时:|a|+|b|=|a+b|=|(a+b+c)-c|=|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2
∴|g(x)|≤2
②当a,b异号时:|a|+|b|=|a-b|=|(a-b+c)-c|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+|f(0)|
∴|g(x)|≤2
不论a,b同号或异号时都有:|g(x)|≤2
(2)a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2，
①b≥0时,a,b同号。
∵2=g(x)≤|g(x)|=|ax+b|≤|ax|+|b|≤|a|+|b|=|a+b|=|(a+b+c)-c|=|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2。即:2≤2
∴欲使上面不等式成立。
必须x=1且|f(1)|=|f(0)|=1且a+b=2
∴|f(1)|=|a+b+c|=|2+c|=|f(0)|=|c|
∴2+c=-c(2+c=c无解)
∴c=-1
∵|f(-1)|=|a-b+c|=|(a+b)-2b+c|=|2-2b-1|=|2b-1|≤1
∴-1≤2b-1≤1即:0≤b≤1。
∴a=2-b,c=-1
∴f(x)=(2-b)x^+bx-1,(0≤b≤1)。
[注:如b=0时f(x)=2x^-1且g(x)=2x,
b=1时f(x)=x^+x-1且g(x)=x+1,
b=1/2时f(x)=(3/2)x^+(1/2)x-1且g(x)=(3/2)x+(1/2)
经检验都满足要求,则f(x)不是唯一的。
]
②b<0时,a,b异号。
∵2=g(x)≤|g(x)|=|ax+b|≤|ax|+|b|≤|a|+|b|=|a-b|=|(a-b+c)-c|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+|f(0)|≤2。
即:2≤2
必须x=-1且|f(-1)|=|f(0)|=1且a-b=2。
∵|f(-1)|=|a-b+c|=|2+c|=|f(0)|=|c|=1
c=-1,
同理-1≤b≤0,a=b+2
∴f(x)=(2+b)x^-bx-1,(-1≤b≤0)。
。收起
