半角与边长的关系式
r是三角形内切圆的半径 p是三角形的半周长 下面的公式是如何推导出来的呢？
全部回答
由三角形余弦定理和三角半角公式得:
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc);
[cos(A/2)]^2=[1+cosA]/2, [sin(A/2)]^2=[1-cosA]/2。
[cos(A/2)]^2=[2bc+(b^2+c^2-a^2)]/(4bc)
=[(b+c)^2-a^2]/(4bc)
=(b+c+a)*(b+c-a)/(4bc)
=s(s-a)/(bc)。
[sin(A/2)]^2=[2bc-(b^2+c^2-a^2)]/(4bc)
=[(a^2-(b-c)^2]/(4bc)
=(a+b-c)*(a-b+c)/(4bc)
=(s-b)(s-c)/(bc)。
tan(A/2)=sin(A/2)/cos(A/2)
=√[(s-b)*(s-c)/s(s-a)]
={√[(s-b)*(s-c)(s-a)/s]}*/(s-a)
=r/(s-a)
其中r=√[(s-b)*(s-c)(s-a)/s], 2s=a+b+c。
在三角形ABC中,I是三角形ABC的内心,过I作IE⊥CA,交CA于E。
则IE=r,AE=s-a。
所以 tan(A/2)=r/(s-a)
。
△ABC中0000
cosA=cos(2*A/2)=1-2[sin(A/2)]^2=2[cos(A/2)]^2-1
--->sin(A/2)=√[(1-cosA)/2],cos(A/2)=√[(1+cosA)/2]
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
--->cos(A/2)=√{[1-(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]/2}
=√{[2bc+(b^2+c^2-a^2)]/(4bc)}
=√{(b^2+2bc+c^2)-a^2]/(4bc)}
=√{[(b+c)^2-a^2]/(4bc)}
=√{[(b+c+a)(b+c-a)]/(2bc)}
令p=(a+b+c)/2,则a+b+c=2p,b+c-a=(a+b+c)-2a=2(p-a)
c+a-b=(a+b+c)-2b=2(p-b),a+b-c=(a+b+c)-2c=2(p-c)
所以cos(A/2)=√{[2p*2(p-a)]/(4bc)}=√[p(p-a)/(bc)]
同理sin(A/2)=√[(p-b)(p-c)/(bc)]
又tan(A/2)=sin(A/2)/cos(A/2)
=√{(p-b)(p-c)/[p(p-a)]}
对于tan(A/2)=r/（p-a)，由于问题要应用关于内切圆的知识，需要另行解答。
。
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