高中 数理综合题 必修2 平面解析几何与抛体运动

一道函数综合题在平面直角坐标系中

在平面直角坐标系中，二次函数y=x^2+bx+c的图像于x轴交与A，B。A点在原点的左侧，B点的坐标为（3,0）于y轴交于点C（0。-3),点P是直线BC下方抛物线中的一个动点。 1。连接PO,PC，并把△POC沿OC翻折，得到四边形POP,c，那么是否存在点P，使 四边形POP,C为菱形，求出点P的坐标。 点B(3,0)，点C(0，-3)在抛物线y=x^2+bx+c上，则将两点坐标代入有： 9+3b+c=0 0+0+c=-3 解得，b=-2，c=-3 所以抛物线为：y=x^2-2x-3 由y=x^2-2x-3=0 ===> (x-3)(x+1)=0 ===> x1=-1，x2=3 所...全部

  在平面直角坐标系中，二次函数y=x^2+bx+c的图像于x轴交与A，B。A点在原点的左侧，B点的坐标为（3,0）于y轴交于点C（0。-3),点P是直线BC下方抛物线中的一个动点。 1。连接PO,PC，并把△POC沿OC翻折，得到四边形POP,c，那么是否存在点P，使 四边形POP,C为菱形，求出点P的坐标。
   点B(3,0)，点C(0，-3)在抛物线y=x^2+bx+c上，则将两点坐标代入有： 9+3b+c=0 0+0+c=-3 解得，b=-2，c=-3 所以抛物线为：y=x^2-2x-3 由y=x^2-2x-3=0 ===> (x-3)(x+1)=0 ===> x1=-1，x2=3 所以，点A(-1,0) 且对称轴为x=1 因为翻折之后得到POP'C，那么点P、P'关于OC即y轴对称 所以，PP'⊥y轴 连接PP'，设其与y轴的交点为E 因为POP'C为菱形，所以PO=PC 又，PE⊥OC 所以，点E为OC中点 那么，点E(0，-3/2) 所以，点P的纵坐标也是-3/2 而点P在抛物线y=x^2-2x-3上，所以：x^2-2x-3=(-3/2) ===> x^2-2x-(3/2)=0 ===> 2x^2-4x-3=0 ===> x=[4±√(16+24)]/4 因为点P在y轴右侧，所以x＞0 即，x=(4+2√10)/4=(2+√10)/2 所以，点P((2+√10)/2，-3/2) 2。
  但点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积。
   因为点P在抛物线上B、C之间，则其横坐标满足：0＜x＜3 不妨设点P(a,b)（0＜a＜3，b＜0） 过点P作x轴的垂线，垂足为F，那么F(a,0) 那么： Rt△AOC的面积S1=(1/2)AO*OC=(1/2)*1*3=3/2 直角梯形PCOF的面积S2=(1/2)(PF+OC)*OF=(1/2)*(-b+3)*a=(1/2)(3a-ab) Rt△BFP的面积S3=(1/2)BF*PF=(1/2)(3-a)*(-b)=(1/2)(ab-3b) 所以，四边形ABPC的面积S=S1+S2+S3=(3/2)+(1/2)(3a-ab)+(1/2)(ab-3b) =(1/2)*(3+3a-ab+ab-3b) =(1/2)*(3+3a-3b) =(3/2)*(a-b+1)………………………………………………（1） 因为点P(a,b)在抛物线y=x^2-2x-3上，所以：a^2-2a-3=b 代入(1)得到：S=(3/2)*[a-(a^2-2a-3)+1] =(3/2)*(-a^2+3a+4) =(-3/2)*(a^2-3a-4) =(-3/2)*[a^2-3a+(9/4)-(25/4)] =(-3/2)*[a-(3/2)]^2+(75/8) 则，当a=3/2时，S有最大值75/8 此时，b=a^2-2a-3=(3/2)^2-3-3=(9/4)-6=-15/4 即，点P(3/2，-15/4)，面积最大值为75/8。收起