被3整除
证明:a^2+b^2能被3整除的充分必要条件是a,b同时能被3整除.
全部回答
以下字母均表示正整数。
1。证充分性:
当a,b同时能被3整除时,设a=3p,b=3q,
则a^2+b^2=3(3p^2+3q^2)能被3整除。
充分性证毕。
2。
证必要性: 当a^2+b^2能被3整除(*)时, (1)若a,b中有且只有1个不能被3整除,不妨设a=3p,b=3q±1, 则a^2+b^2=3(3p^2+3q^2±2q)+1不能被3整除,与(*)矛盾。
(2)若a,b都不能被3整除,设a=3p±1,b=3q±1, 则a^2+b^2=3(3p^2±2p+3q^2±2q)+1不能被3整除,与(*)矛盾。 所以当a^2+b^2能被3整除时,a,b中不能存在不能被3整除的数,即a,b都只能同时被3整除。
必要性证毕。 由上可知,a^2+b^2能被3整除的充分必要条件是a,b同时能被3整除。 。
证必要性: 当a^2+b^2能被3整除(*)时, (1)若a,b中有且只有1个不能被3整除,不妨设a=3p,b=3q±1, 则a^2+b^2=3(3p^2+3q^2±2q)+1不能被3整除,与(*)矛盾。
(2)若a,b都不能被3整除,设a=3p±1,b=3q±1, 则a^2+b^2=3(3p^2±2p+3q^2±2q)+1不能被3整除,与(*)矛盾。 所以当a^2+b^2能被3整除时,a,b中不能存在不能被3整除的数,即a,b都只能同时被3整除。
必要性证毕。 由上可知,a^2+b^2能被3整除的充分必要条件是a,b同时能被3整除。 。
充分性：
设a=3k，b=3m (k,m∈Z)
则 a^2+b^2=9(k^2+m^2)=3N (N∈Z)
所以 a,b能同时被3整除 ==> a^2+b^2能被3整除
必要性：
应证 a^2+b^2能被3整除 ==> a,b能同时被3整除
利用逆否命题 即证 a,b不能同时被3整除 ==> a^2+b^2不能被3整除
情况1：a,b中有一个能被3整除
不妨设a=3k,b=3m±1 (k,m∈Z)
则 a^2+b^2=9k^2+(9m^2±6m+1)=3N+1 (N∈Z)
所以 a^2+b^2不能被3整除
情况1：a,b都不能能被3整除
设a=3k±1,b=3m±1 (k,m∈Z)
则 a^2+b^2=(9k^2±6k+1)+(9m^2±6m+1)=3N+2 (N∈Z)
所以 a^2+b^2不能被3整除
由上，得证 a^2+b^2能被3整除 ==> a,b能同时被3整除
综上：a,b能同时被3整除是a^2+b^2能被3整除的充分必要条件。
。
。
热点推荐
热度TOP
-
早泄患者如果不及时治疗会有什么危害？
3人阅读
-
四联疗法的用法及用量是怎样的？
489人阅读
-
南通文峰妇科坑人？
30人阅读
-
泉州哪家男科好？
100人阅读
-
成都哪家医院做人流好选棕南?
48人阅读
-
哈尔滨宾县医院有没有无痛引产
0人阅读
相关推荐
加载中...