什么是柯西不等式?(告诉我这属于哪部分知
柯西不等式的证明及应用
摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题,求函数最值,解方程等问题的应用方面给出几个例子。
关键词:柯西不等式 证明 应用
中图分类号: O178
Identification and application of Cauchy inequality
Chen Bo
(department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000)
Abstract:Cauchy-inequalityisaver...全部
柯西不等式的证明及应用
摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题,求函数最值,解方程等问题的应用方面给出几个例子。
关键词:柯西不等式 证明 应用
中图分类号: O178
Identification and application of Cauchy inequality
Chen Bo
(department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000)
Abstract:Cauchy-inequalityisaveryimportantinequation,flexibleingeniousapplicationit,canmakesomecomparativelydifficultproblemseasilysolved。
Thistextproveinequality,solvetrianglerelevantproblem,isitworthmosttoask,theapplicationwhichsolvessuchquestionsastheequation, videsseveralexamples。
Keyword:inequation prove application
柯西(Cauchy)不等式
等号当且仅当 或 时成立(k为常数, )现将它的证明介绍如下:
证明1:构造二次函数
=
恒成立
即
当且仅当 即 时等号成立
证明(2)数学归纳法
(1)当 时 左式= 右式=
显然 左式=右式
当 时, 右式 右式
仅当即 即 时等号成立
故 时 不等式成立
(2)假设 时,不等式成立
即
当 ,k为常数, 或 时等号成立
设
则
当 ,k为常数, 或 时等号成立
即 时不等式成立
综合(1)(2)可知不等式成立
柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,利用柯西不等式可处理以下问题:
1) 证明相关命题
例1. 用柯西不等式推导点到直线的距离公式 。
已知点 及直线
设点p是直线 上的任意一点, 则
(1)
(2)
点 两点间的距离 就是点 到直线 的距离,求(2)式有最小值,有
由(1)(2)得:
即
(3)
当且仅当
(3)式取等号 即点到直线的距离公式
即
2) 证明不等式
例2 已知正数 满足 证明
证明:利用柯西不等式
又因为 在此不等式两边同乘以2,再加上 得:
故
3) 解三角形的相关问题
例3 设 是 内的一点, 是 到三边 的距离, 是 外接圆的半径,证明
证明:由柯西不等式得,
记 为 的面积,则
故不等式成立。
4) 求最值
例4 已知实数 满足 , 试求 的最值
解:由柯西不等式得,有
即
由条件可得,
解得, 当且仅当 时等号成立,
代入 时,
时
5)利用柯西不等式解方程
例5.在实数集内解方程
解:由柯西不等式,得
①
又
即不等式①中只有等号成立
从而由柯西不等式中等号成立的条件,得
它与 联立,可得
6)用柯西不等式解释样本线性相关系数
在《概率论与数理统计》〉一书中,在线性回归中,有样本相关系数 ,并指出 且 越接近于1,相关程度越大, 越接近于0,则相关程度越小。
现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。
现记 , ,则,
,由柯西不等式有,
当 时,
此时, , 为常数。点 均在直线
上,
当 时,
即
而
为常数。
此时,此时, , 为常数
点 均在直线 附近,所以 越接近于1,相关程度越大
当 时, 不具备上述特征,从而,找不到合适的常数 ,使得点 都在直线 附近。
所以, 越接近于0,则相关程度越小。
致谢:在本文的写作过程中,得到了马统一老师的精心指导,在此表示衷心的感谢。
参考文献: 柯西不等式的微小改动 数学通报 2002 第三期
柯西不等式与排序不等式 南山 湖南教育出版社
普通高中解析几何 高等教育出版社
1990-年全国统一考试 数学试卷
李永新 李德禄 中学数学教材教法 东北师大出版社
盛聚,谢式千,潘承毅 概率与数理统计 高等教育出版
用用柯西不等式解释样本线性相关系数 数学通讯 2004年第七期
2004年6月
几个重要不等式(二)柯西不等式
,当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
柯西不等式的几种变形形式
1。
设aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)则,当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
2。设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n),则,当且仅当b1=b2=…=bn时取等号
例1。
已知a1,a2,a3,…,an,b1,b2,…,bn为正数,求证:
证明:左边=
例2。对实数a1,a2,…,an,求证:
证明:左边=
例3。在DABC中,设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R,求证:
证明:左边³
例4。
设a,b,c为正数,且a+b+c=1,求证:
证明:左边=
³
=
=
例5。若n是不小于2的正整数,试证:
证明:
所以求证式等价于
由柯西不等式有
于是:
又由柯西不等式有
0,则>0且a12³b12³c12>0
则
例4。
设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,求证:
证明:设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列,且b10
由排序不等式有:
两式相加得
又因为:a3³b3³c3>0,
故
两式相加得
例6。
切比雪不等式:若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,则
a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则
证明:由排序不等式有:
a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2
…………………………………………
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1
将以上式子相加得:
n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)
∴
。
收起