求助不等式训练题

设a,b,c是互不相同的实数.试证[(2a-b)/(a-b)]^2+[(2b-c)/(b-c)]^2+[(2c-a)/(c-a)]^2≥5

全部回答

2009-02-11

0 0

     定理设实数x,y,z满足 yz+zx+xy=x+y+z+t,则有 (x-k)^2+(y-k)^2+(z-k)^2≥2k^2-2k-1-2t (1) 定理证明 (1)展开为 k^2-2k(x+y+z-1)+x^2+y^2+z^2+2t+1≥0 k^2-2k(x+y+z-1)+(x+y+z)^2-2(x+y+z)+1≥0 k^2-2k(x+y+z-1)+(x+y+z-1)^2≥0 [k+1-(x+y+z)]^2≥0。
     下面运用定理来证明不等式。设a,b,c是互不相同的实数。试证 [(2a-b)/(a-b)]^2+[(2b-c)/(b-c)]^2+[(2c-a)/(c-a)]^2≥5 (2) (2) [a/(a-b)+1]^2+[b/(b-c)+1]^2+[c/(c-a)+1]^2≥5 令x=a/(a-b), y=b/(b-c), z=c/(c-a)。
     易验证 yz+zx+xy+1=x+y+z。故定理中取k=-1,t=-1,得 (x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2≥2(-1)^2+2-1+2=5。不等式（2）得证。
   。

提交