高中数学题椭圆C1与双曲线C2有
设C1方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，
离心率为e1，
C2方程为x^2/m^2-y^2/n^2=1(m、n>0)，
离心率为e2。
∵a=c/e1，b=√(a^2-c^2)，
故C1方程改写为
(1-e1^2)x^2+y^2=[(1-e1^2)/e1^2]c^2……①
同理，C2方程解写为
(1-e1^2)x^2+y^2=[(1-e2^2)/e2^2]c^2……②
设D为(x0，y0)，联立①、②得
y0=(c/e1e2)·√[(1-e1^2)(1-e2^2)]，
∴S△ABD=(1/2)(c/e1-c/e2)y0
=(1/2)[c^2(e2-e1)/e1^2e2...全部
设C1方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，
离心率为e1，
C2方程为x^2/m^2-y^2/n^2=1(m、n>0)，
离心率为e2。
∵a=c/e1，b=√(a^2-c^2)，
故C1方程改写为
(1-e1^2)x^2+y^2=[(1-e1^2)/e1^2]c^2……①
同理，C2方程解写为
(1-e1^2)x^2+y^2=[(1-e2^2)/e2^2]c^2……②
设D为(x0，y0)，联立①、②得
y0=(c/e1e2)·√[(1-e1^2)(1-e2^2)]，
∴S△ABD=(1/2)(c/e1-c/e2)y0
=(1/2)[c^2(e2-e1)/e1^2e2^2]√[(1-e1^2)(1-e2^2)]
设f(e1，e2)=[(e2-e1)/e1^2e^2]√[(1-e1^2)(1-e2^2)]
∵e2-e1≤1，
∴e1≥e2-1，e2≤e1+1<2
∴e1∈[e2-1，1)
C2渐近线为x1/m±y1/n=0，
即y=±(n/m)x，∴n/m≥4/3
e2=c/n
=√[1+(n/m)^2]
≥√[1+(4/3)^2]
=5/3。
将f(e1，e2)中e2固定，看成关于e1的一次函数易知，
随着e1变大，e2-e1变小，1/e1^2e2^2变小，
√[(1-e1^2)(1-e2^2)]变小，
f(e1，e2)在e2固定时，在e1∈[e^2-1，1)上为递减的。
∴f(e1，e2)≤f(e2-1，e2)
≤[1/(e2-1)^2e2^2]√[(2e2-e2^2)(e2^2-1)]
=√[(2-e2)(e2+1)/e2^3(e2-1)^3]。
∵(2-e2)(e2+1)=-(e2-1/2)^2+(9/4)
∴(2-e2)(e2+1)在[5/3，2)上单调递减，
又1/e2^3(e2-1)^3在[5，2)上单调递减，
∴√[(2-e2)(e2+1)/e2^3(e2-1)^3]
≤√[(2-5/3)(5/3+1)/(5/3)^3(2/3)^3]
=9√5/25。
∴f(e1，e2)≤9√5/25，
∴S△ABD≤(9√5/50)c^2。
当e2=5/3，e1=2/3时，得
S△ABD最大值为(9√5/50)c^2。
此时，
C1为x^2/(9c^2/4)+y^2/(5c^2/4)=1，
C2为x^2/(9c^2/25)-y^2/(16c^2/25)=1。
。收起
