尺规作图题尺规作图：求作一条直线，同时平分任意△ABC的周长和面积。
过内心作面积等分线的方法:
1。作出内心I
2。取各边中点D,E,F,确定重心G,不妨设I在△CGE内
【I一定在三角形内部,在由重心,顶点,和顶点所在边的中点确定的某个三角形内(含边界)。 假如I在△BGF,或△CGE内,那么一定可以作出一条与BF,CE相交过I的直线等分△ABC的面积,这里只为确定作图的方向,否则可能造成后面第5步没有交点】
3。连IE,AI,作∠ABP=∠AIE,BP交AI延长线于P
4。 以AI为直径作圆,过P作圆切线PT,T为切点
5。以P为圆心,PT为半径作圆脚BF于M
[圆P与CE也交于N点,M。I。N共线]
直线MI(或者说MN)即为所求
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过内心作面积等分线的方法:
1。作出内心I
2。取各边中点D,E,F,确定重心G,不妨设I在△CGE内
【I一定在三角形内部,在由重心,顶点,和顶点所在边的中点确定的某个三角形内(含边界)。
假如I在△BGF,或△CGE内,那么一定可以作出一条与BF,CE相交过I的直线等分△ABC的面积,这里只为确定作图的方向,否则可能造成后面第5步没有交点】
3。连IE,AI,作∠ABP=∠AIE,BP交AI延长线于P
4。
以AI为直径作圆,过P作圆切线PT,T为切点
5。以P为圆心,PT为半径作圆脚BF于M
[圆P与CE也交于N点,M。I。N共线]
直线MI(或者说MN)即为所求
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那就补充个证明:不太相信有很简单的作法
(1)
AI平分∠BAC==>∠BAP=∠IAE
∠ABP=∠AIE(作出)
==>△ABP∽△AIE==>AB*AE=AP*AI
PT是切线==>PT^2=PI*PA==>PM^2=PI*PA
==>△PMI∽△PAM==>∠PMN=∠PAM=∠PAN
==>M。
P。N。
A共圆==>∠APM=∠ANI
∠MAP=∠IAN
==>△APM∽△ANI==>AM*AN=AP*AI
==>AM*AN=AB*AE=AB*1/2AC
S△ABC=1/2AB*AC*sinA,S△AMN=1/2AM*AN*sinA
==>S△ABC=2S△AMN
即MN平分△ABC面积
(2)设内切圆半径为r,则S△ABC=1/2(a+b+c)r
I是内心,S△AMI=1/2AM*r,S△ANI=1/2AN*r
∴S△AMN=S△AMI+S△ANI=1/2(AM+AN)r
由(1)S△ABC=2S△AMN
∴1/2(a+b+c)r=(AM+AN)r
∴AM+AN=1/2(a+b+c)
即MN平分△ABC周长
由此可见,既平分面积又平分周长的直线一定过内心
那么有几条这样的直线呢?有兴趣的话可以继续研究
。收起
